Les applications sont des relations particulières. Rien n'empêche, comme dans le cas des relations plus générales, que la source et le but soient un seul et même ensemble.
Dès lors qu'on a des applications de E dans E, on peut les composer entre elles sans restriction, chaque nouvelle composition donnant lieu à une nouvelle fonction de E dans E.

Voici quelques exemples:

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Parmi les applications de E dans E, une d'entre elles joue un rôle particulier. C'est celle qui correspond à la relation d'égalité, que nous appellerons pour l'occasion "l'application identique" , ou "l'identité" de E.
Le fait que f et g soient réciproques l'une de l'autre peut s'exprimer au moyen de la composition et de l'application identique.
g=f-1 ⇔   gof=Id
En outre Id agit comme un 'élément neutre' pour la composition, aussi bien à droite qu'à gauche.
∀  f  ∈ EE foId=Idof=f

Voici des représentations d'applications identiques.

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