Définition

Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F.
On suppose que E est muni d'une relation d'équivalence, notée R.
On suppose que F est muni d'une relation d'équivalence, notée S.
On dit que 'f est compatible avec R et S' si:
x R x'  ⇒ f(x)Sf(x')
Si maintenant E=F et R=S, on dit simplement que 'f est compatible avec R'.
Un cas particulier:
Soit f une application de E dans E. On munit E de la relation xRx' ⇔ f(x)=f(x')
Alors R est une relation d'équivalence, et f est évidemment compatible avec R.

Exemples

Dans les exemples qui suivent la compatibilité se conçoit ainsi:
Deux éléments de même forme doivent avoir des images de même forme (quelle que soit cette forme).
La relation d'équivalence est ici 'a même forme que'
Cliquez pour voir des applications compatibles !
Fonction compatible avec la relation d'équivalence x=y ou x=-y sur ℝ (fonction paire):
Il résulte des définitions que si f est une application de E vers F si R est une relation d'équivalence sur E et si S est une relation d'équivalence sur F telles que f soit compatible avec R et S. Alors il existe une application φ de l'ensemble quotient ER vers l'ensemble quotient F/S tel que le diagramme suivant où s sont les surjections canoniques, soit 'commutatif' au sens que φos=sof

Ainsi dans les exemples ci-dessus ont peut déduire des applications allant de l'ensemble des trois formes vers lui-même.