Définitions

Une relation R de E vers F est appelée une 'application' (ou 'fonction' ) si elle possède la propriété suivante:
Tout élément x de E possède une image et une seule par R.
∀ x  x ∈ E  ∃! y ∈ F | xRy
∃! se lit 'il existe un unique', alors que ∃ se lit 'il existe au moins un'.
Des lors qu'une relation est une application, les notations usuelles changent un peu.
Au lieu de noter R(x,y) ou xRy comme à l'accoutumée, on notera plutôt:
y=R(x)
R(x) est un élément unique, parfaitement déterminé et appelé "l'image de x" par R.
Sur le schéma sagittal on peut voir qu'une relation est une application en constatant que de chaque élément de la source il part une flèche et une seule.
Sur le schéma cartésien on le voit au fait que sur chaque verticale élevée au dessus d'un élément de la source se trouve un point du graphe et un seul.
On notera souvent (mais pas toujours) les applications au moyen de lettres minuscules, comme f,g.
Si donc f désigne une application f: E → F
Attention donc à ne pas confondre!

La relation qu'on a entre les deux est f({x})={f(x)}
Quelques propriétés évidentes:
Si X1 et X2 sont deux parties de E  X1 ⊆ X2 ⇒ f(X1) ⊆ f(X2)
Si Y1 et Y2 sont deux parties de F  Y1 ⊆ Y2 ⇒ f-1(Y1) ⊆ f-1(Y2)
En outre, pour le moment, et tant qu'on ne fait pas d'hypothèses supplémentaires sur f, la notation f-1(y), n'a aucun sens.
Toutes les applications de E dans F s'organisent en un nouvel ensemble noté FE.
Tout comme les relations deux applications f et g sont égales si elles ont:

Voici quelques exemples d'applications (à générer au moyen du bouton)

Cliquez pour voir des exemples d'applications !

Tirages avec remise

Le cas où E={1,2,....,p} est un peu particulier. Une application de E dans F correspond à une 'suite' d'éléments de F disons (y1,y2,...,yp) où y1 est l'image de 1, y2 l'image de 2, etc.
Nous disons bien une 'suite' et non pas une partie.
En effet, il peut y avoir des répétitions (rien n'empêche deux éléments d'avoir la même image), et l'ordre dans lequel les éléments sont écrits a de l'importance (l'application qui envoie 1 sur y1 et 2 sur y2 , n'est pas la même que celle qui envoie 1 sur y2 et 2 sur y1 ). Ainsi pour fabriquer une application de E dans F 'au hasard' on peut considérer qu'on met tous les éléments de F dans une urne, qu'on en tire un, qu'on le note, qu'on le remet dans l'urne, qu'on en tire un second (qui peut donc être à nouveau le premier) et ainsi de suite p fois.
Ceci correspond à l'expérience aléatoire qu'on appelle 'tirage avec remise' Voir exercices pour le dénombrement des possibilités.

Graphe d'une application de ℕ dans ℕ (f(n)=n2)

Graphe d'une application de ℝ dans ℝ (f(x)=xsin(3x))

Café Python

Voici une façon de définir une fonction non numérique sans formule de calcul:

Voici une façon de définir une fonction numérique au moyen d'une formule: