Nous avons vu plutôt que les notions de fonction et d'application sont parfaitement synonymes.
Cependant, nous ne pouvons passer sous silence certaines pratiques, certains usages qu'on rencontre surtout chez les auteurs d'ouvrages scolaires de l'enseignement secondaire.
Ils définissent des fonctions, le plus souvent numériques de ℝ dans ℝ , au moyen d'une formule n'ayant de sens que pour certaines valeurs de la variable , comme par exemple:
f(x) = √(1+tan(x)).
Ils posent alors des questions du genre "Quel est le domaine de définition de f ?".
Ceci n'a pas grand sens du point de vue de la théorie générale des relations puisqu'une application (fonction) est définie a priori par son ensemble source, son ensemble but, et une relation fonctionnelle.
La question devrait donc être formulée ainsi: "Pour quelles valeurs de x la formule a-t-elle un sens ?". Puis, "en déduire une application de cet ensemble vers ℝ définie par... etc.."
Mais pour faire court, la question sera souvent posée comme il est dit plus haut.
Ajoutons enfin une précision concernant la définition de fonctions au moyen de formules.
Nous pouvons parler, par exemple, de la fonction  x → sin(x). Remarquons ici que la lettre x joue le rôle d'une 'variable muette' pouvant être remplacée par n'importe quelle autre.
Ainsi   x → sin(x) et   y → sin(y) désignent  une seule et même fonction, celle qui à tout élément associe son sinus. Le fait d'utiliser une variable permet d'utiliser une formule symbolique, et d'éviter la lourdeur du langage naturel dès que la formule devient un peu compliquée.
Par ailleurs il ne faut pas croire que toute fonction peut être définie par une formule.
Considérons par exemple la fonction dite 'de Dirac'  ainsi définie:
δ (x) = 1 si x ∈ ℚ et 0 si x ∉ ℚ
Il est illusoire d'essayer d'écrire une telle fonction par une formule, aussi bien que de la représenter graphiquement d'ailleurs.
Certains vont même jusqu'à dire qu'une fonction est une application "non partout définie", c'est à dire que tout élément de la source possède au plus une image.
De toutes façons la notion d'application est la seule qui soit vraiment importante. De fait, toute relation fonctionnelle peut être définie par une application .
En effet, un graphe est une partie de E×F, et une telle partie s'identifie à une application c de E×F dans {0,1}. Un couple (x,y) ∈ G ⇔ c(x,y)=1 et (x,y) ∉ G ⇔ c(x,y)=0.
Une fonction telle que c s'appelle une 'fonction caractéristique' . L'ensemble des parties de E s'identifie avec l'ensemble des applications de E dans {0,1}.