Les applications sont des relations particulières. Ce sont celles pour lesquelles chaque élément de la source possède une image et une seule.
Elles jouent à côté des relations binaires et conjointement avec elles un grand rôle dans les mathématiques modernes.
Les applications s'organisent à leur tour en ensembles très vastes, avec lesquels ont peut faire les opérations courantes (réunion, produit).
De fait l'ensemble des applications de E dans F, peut être vu comme un produit dont tous les facteurs sont égaux à F, ses facteurs étant indexés par E. Quand E est un ensemble fini l'ensemble des applications de E dans F s'identifie à Fn où n est le nombre d'élément de E, un n-uple (x1, ..., xn) de Fn s'identifiant à l'application f:i → xi de E dans F. Cette façon de voir s'étend au cas ou E est un ensemble infini.
Bien que les applications partagent toutes la même propriété pour tous les éléments de la source (une image et une seule), une discrimination peut être faite sur les éléments du but selon le nombre de leurs antécédents. Ces considérations conduisent à la définition des injections, surjections et bijections.
Les bijections sont parmi les applications des éléments privilégiés puisqu'elles mettent les ensembles en relation 'un à un'. On les utilise souvent pour identifier des ensembles distincts par construction. Il est fait un très large usage des bijections dans les constructions des ensembles de nombres. C'est l'existence de bijections particulières qui permet d'écrire 2=+2=2/1=2.0 bien qu'a priori ces éléments appartiennent à des ensembles distincts.
Lorsque les bijections ont pour source et but le même ensemble on parle de 'permutations' de cet ensemble. Les permutations d'un ensemble sont importantes dans la mesure où elles constituent historiquement les premiers exemples de 'groupes'.
Une attention particulière sera apportée aux relations existant entre les applications entre ensembles et les relations d'équivalence ou les relations d'ordre existant sur ces ensembles.

Voici maintenant les personnalités dont la contribution au développement de la notion de fonction est la plus remarquable.

Galerie des portraits

Les anciens

Leonhard Euler - (1707/1783-CH) Bernhard Riemann - (1826/1866-DE)

Et les modernes

Kurt Gödel (1906/1978-AUS-DE-US) Alonzo Church (1903/1995-US) Alan Turing (1912/1954 -UK)