Définition

Une application de E dans F est dite 'injective' (ou une 'injection' ) si deux éléments quelconques distincts de la source ont des images distinctes.
f injective ⇔  ∀ (x,y) ∈ E × E  x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

Voici quelques exemples d'applications injectives:

Cliquez pour voir des exemples d'applications injectives !

Injection 'canonique'

Soit E un ensemble et X une partie de E. L'application i: x → x de X → E est évidemment injective.
On l'appelle parfois "l'injection canonique" de X dans E.

Tirages sans remise

Nous avons vu que si E={1,2,...p},  une application de E dans F correspond à une 'suite' d'éléments de F disons (y1,y2,...,yp) où y1 est l'image de 1, y2 l'image de 2, etc.
Si l'application est injective, les yi sont tous distincts. Ainsi pour fabriquer une application injective de E dans F 'au hasard' on peut considérer qu'on met tous les éléments de F dans une urne, qu'on en tire un sans le remettre (pour qu'il ne soit pas tiré une seconde fois),  qu'on en tire un second (qui peut donc être à nouveau le premier) et ainsi de suite p fois.
Le résultat obtenu  (y1,y2,...,yp) s'appelle un arrangement de p éléments pris dans F. Si F possède n éléments, le nombre d'arrangements de p dans n se note A n p .
Voir les exercices pour le calcul des coefficients A n p et leur lien avec les coefficients C n p vus dans les pages consacrées aux ensembles de parties.
Ceci correspond à l'expérience aléatoire qu'on appelle 'tirage sans remise'

Café Python

Exemple de programme de test pour l'injectivité: