Définitions

Quand f est une application de E dans E, il est possible de composer f avec elle-même, le résultat fof se note aussi f2.
De la même façon fn=fn-1of=fofofo...of  (n facteurs).
Pour assurer la validité de la formule fpofq=fp+q, on convient également de définir fo comme l'identité et f1=f.
Faisons tout de suite une remarque que nous utiliserons par la suite:
Si E est lui-même un ensemble fini, l'ensemble de toutes les applications de E dans E étant également fini, il est impossible que toutes les puissances de f forment un ensemble infini. Il y a donc forcément un phénomène cyclique. Il existe une valeur n telle que fn=fp avec p < n , on a alors fn+1=fp+1, et ainsi de suite.
Une applications de E dans E est dite 'idempotente' si toutes ses puissances strictement positives sont égales à elle-même.

Exemples de calcul de puissances seconde et troisième d'une fonction:

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Café Python

Voici un programme qui montre comment calculer la puissance n-ième d'une fonction: