Toute pensée formalisée s'exprime de nos jours dans le langage de la théorie des ensembles, qui a ainsi envahi toutes les disciplines.
Nous exposons ici, la théorie 'naïve' des ensembles, qui constitue le langage actuel des mathématiques.
Nous donnons les principales définitions sous forme intuitive, en donnant des exemples, et en introduisant les symboles qui sont largement utilisés dans le discours mathématique.
Juste pour prendre un exemple, nous considérerons dans ce chapitre, quelques objets que nous appellerons 'éléments' .
Chacun de ses objets possède plusieurs caractéristiques:
Voici un exemple d'un tel élément:

Couleur  rouge, forme 'cercle', nom 'b', numéro 1.
Il n'est nullement indispensable de considérer a priori des éléments ayant des propriétés (ou attributs) mais cela facilite la visualisation, le repérage, et met en relief que chaque élément doit être clairement identifiable, de façon non ambiguë. Nous utiliserons également cet artifice pour la définition des ensembles en 'compréhension'.
Un 'ensemble' correspond à un groupement, une collection d'éléments qu'il rassemble. Un ensemble correspond à la notion intuitive de 'sac', de 'contenant'.
Voici un exemple d'ensemble E formé au hasard avec des éléments comme ceux décrits ci-dessus:

Cliquez sur le bouton pour en faire apparaître de nouveaux.
L'ensemble proposé ici est écrit en 'extension' , c'est à dire que tous les éléments sont listés entre accolades, et séparés par des virgules, sans 'omission' (on n'en oublie aucun), ni 'répétition' (chaque élément est écrit une seule fois).
Dans une telle représentation, l' ordre des éléments n'a aucune importance . On peut, bien sûr, considérer des ensembles formés à partir d'autres éléments, des ensembles de symboles (lettres), des ensembles de nombres. On peut également former des ensembles peuplés d'objets du monde 'réel', ensembles de locaux, de personnes, etc...
Les exemples physiques posent souvent des problèmes au niveau de la définition même.
L'ensemble des élèves du classe paraît, à première vue, non ambigu; mais s'agit-il de fait de l'ensemble des élèves assistant régulièrement au cours ou bien de ceux inscrits officiellement sur les listes? etc., etc.
L'ensemble des grains de sable contenus dans un verre, suppose que l'on ait définit la taille minimale d'un tel 'grain' etc..., etc...
Les exemples mathématiques semblent ne pas poser de telles difficultés mais des paradoxes existent aussi qui ne peuvent être éliminés dans le cadre de la théorie 'naïve'.
L'ensemble des présidents de la 5ième république française, désigne-t-il l'ensemble des présidents 'élus' ou l'ensemble des personnes ayant 'rempli les fonctions' de président (le président du Sénat a été deux fois dans cette situation)?

Le symbole d'appartenance

Si x est élément de E on note:
x ∈ E
qu'on lit  aussi
x appartient à E

et dans le cas contraire, si x n'est pas élément de E:
x ∉ E
qu'on lit  aussi
x n'appartient pas à E

Café Python

Le langage Python, dans sa version 3.4 intègre un objet 'set' pour représenter les ensembles.
Voici un premier programme qui fabrique quelques ensembles et les affiche à l'écran.

Le programme qui suit saisit des ensembles au clavier:

Le programme qui suit teste l'appartenance d'éléments à un ensemble: