Toute pensée formalisée s'exprime de nos jours dans le langage de la
théorie des ensembles, qui a ainsi envahi toutes les disciplines.
Nous
exposons ici, la théorie 'naïve' des ensembles, qui constitue le
langage actuel des mathématiques.
Nous donnons les principales définitions
sous forme intuitive, en donnant des exemples, et en introduisant
les symboles qui sont largement utilisés dans le discours
mathématique.
Juste pour prendre un exemple, nous considérerons dans ce chapitre,
quelques objets que nous appellerons 'éléments'.
Chacun de ses objets possède plusieurs caractéristiques:
Son nom unique, qui permet de l'identifier. Ce nom sera,
pour simplifier, une lettre minuscule de l'alphabet latin (exemple
a,b,...)
Sa couleur (rouge, bleu, etc...)
Sa forme (cercle, carré, etc...)
Voici un exemple d'un tel élément:
Couleur bleue, forme 'cercle', nom 'a'.
Il
n'est nullement indispensable de considérer a priori des éléments ayant
des propriétés (ou attributs) mais cela facilite la visualisation, le
repérage, et met en relief que chaque élément doit être clairement
identifiable, de façon non ambiguë. Nous utiliserons également cet
artifice
pour la définition des ensembles en 'compréhension'.
Un 'ensemble'
correspond à un groupement, une collection d'éléments qu'il rassemble.
Un ensemble correspond à la notion intuitive de 'sac', de 'contenant'.
Voici un exemple d'ensemble formé au hasard avec des éléments comme
ceux décrits
ci-dessus:
L'ensemble proposé ici est écrit en 'extension',
c'est à dire que tous les éléments sont listés entre accolades, et
séparés par des virgules, sans 'omission'
(on n'en oublie aucun), ni 'répétition'
(chaque élément est écrit une seule fois).
Dans une telle représentation, l'ordre des
éléments n'a aucune importance.
On peut, bien sûr, considérer des ensembles formés à partir d'autres
éléments, des ensembles de symboles (lettres), des ensembles de
nombres.
On peut également former des ensembles peuplés d'objets du monde
'réel', ensembles de locaux, de personnes, etc...
Les exemples physiques posent souvent des problèmes au niveau de la
définition même.
L'ensemble
des élèves du classe paraît, à première vue, non ambigu; mais s'agit-il
de fait de l'ensemble des élèves assistant régulièrement au cours ou
bien de ceux inscrits officiellement sur les listes? etc., etc.
L'ensemble
des grains de sable contenus dans un verre, suppose que l'on ait
définit la taille minimale d'un tel 'grain' etc..., etc...
Les
exemples mathématiques semblent ne pas poser de telles difficultés mais
des paradoxes existent aussi qui ne peuvent être éliminés dans le cadre
de la théorie 'naïve'.
L'ensemble des présidents de la 5ième république française, désigne-t-il
l'ensemble des présidents 'élus' ou l'ensemble des personnes ayant 'rempli les
fonctions' de président (le président du Sénat a été deux fois dans cette
situation)?
Le symbole d'appartenance
Si x est élément de E on note:
x ∈ E
qu'on lit aussi
x appartient à
E
et dans le cas contraire, si x n'est pas élément de E:
x ∉ E
qu'on lit aussi
x n'appartient
pas à
E
Café Python
Le langage Python intègre un objet 'Set' pour représenter les ensembles.
Voici un premier programme qui fabrique quelques ensembles et les affiche à
l'écran.
Le programme qui suit saisit des ensembles au clavier:
Le programme qui suit teste l'appartenance d'éléments à un ensemble:
