Définitions

On dit que " l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B" (notation A ⊆ B ) si tout élément de A est un élément de B. On dit également dans ce cas que A est un 'sous-ensemble' de B ou encore une 'partie' de B.
Ainsi:
(A ⊆ B) ⇔ (∀ x x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Le symbole représente l'implication logique et se lit 'implique', 'entraîne' ou 'force'.
D'une façon générale, la négation d'une proposition :
∀ x P(x) où P est une propriété quelconque
s'énonce:
∃ x |¬ P(x) où ¬ P est la négation de P

Dans notre cas la négation A non inclus dans B (A ⊄ B) s'exprime:
∃ x | x ∈ A ∧ x ∉ B  (∧ désigne ici le symbole logique ET)
A ⊂ B, inclusion stricte, signifie A ⊆ B et A ≠ B



Exemple d'inclusion de E dans F (E ⊆ F)




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Exemple de non inclusion de E dans F (E ⊄ F)



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Propriétés

Pour tout ensemble A, on a: ∅ ⊆ A.
En effet, la négation impliquerait l'existence d'un élément x dans ∅

Réflexivité:

Pour tout ensemble A, on a A ⊆ A.

Transitivité:

(A ⊆ B) ∧( B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C).

Antisymétrie:

(A ⊆ B) ∧( B ⊆ A) ⇒ (A=B).
Ces 3 propriétés sont à peu près évidentes compte tenu des définitions.
La troisième est utilisée en pratique pour démontrer l'égalité de deux ensembles.
Pour démontrer que A=B, on montre que x ∈ A ⇒ x ∈ B puis l'implication en sens inverse.

Café Python

Voici un programme qui teste l'inclusion d'un ensemble dans un autre, et qui vérifie l'égalité de deux ensembles.