La théorie des ensembles qu'elle soit naïve ou axiomatique distingue les ensembles ' finis' et, a contrario, les autres appelés 'infinis' .
Nous nous contenterons pour commencer d'une définition naïve.
Les ensembles finis sont ceux qui, tels que ceux que nous venons de voir en exemple, peuvent s'écrire en extension. Donc ce sont ceux pour lesquels il est possible de lister TOUS les éléments.
Une définition plus rigoureuse suppose connues les définitions d'application, de bijection , d'ensembles équipotents et des cardinaux, bref tout un matériel dont nous ne disposons pas encore.
L'existence d'ensembles infinis ne résulte pas des axiomes élémentaires de définition des ensembles. C'est donc un axiome supplémentaire faisant partie intégrante de la théorie.
Le premier exemple d'ensemble infini, qu'on donne généralement est l'ensemble, noté ℕ , de tous les entiers dits 'naturels'.
ℕ ={0,1,2,3,4,5,....................................}
A partir de ℕ ( Cet ensemble étant donné ou construit), il devient possible de construire les autres ensembles de nombres comme:
Une des raisons d'être de la théorie des ensembles de G. Cantor était justement de définir le 'nombre d'élément' d'un ensemble infini et de comparer entre eux les nombres infinis (appelés aussi 'transfinis').
Nous verrons dans un autre chapitre que les résultats auxquels on parvient n'ont plus rien à voir avec le 'sens commun' hérité d'une manipulation presque exclusive d'ensembles finis.