Si A,B, et C sont 3 ensembles, les lois dites de
'De Morgan'
peuvent s'énoncer ainsi:
A-(B ∩ C) =(A-B) ∪ (A-C)
A-(B ∪ C) = (A-B) ∩ (A-C)
Ce qui revient à dire que la passage au complémentaire
'inverse' les opérations de réunion et d'intersection.
La démonstration repose sur une propriété analogue pour les opérateurs
logiques:
NON: ¬
OU: ∨
ET: ∧
Montrons par exemple la première:
x ∈ A-(B ∩ C) ⇔
x ∈ A ∧ x ∉
(B
∩ C)
x ∉ (B
∩ C)
⇔ ¬ (x
∈ B ∧ x ∈ C)
¬ (x
∈ B ∧ x ∈ C)
⇔ (¬( x ∈ B))
∨ (¬ (x ∈ C))
⇔ (x
∉ B ∨ x ∉ C)
donc
x ∈ A-(B ∩ C) ⇔
x ∈ A ∧
(x
∉ B ∨ x ∉ C)
et pour finir par distributivité de ∧ sur ∨
x ∈ A ∧
(x
∉ B ∨ x ∉ C)
⇔ (
x ∈ A
∧
x
∉ B
)
∨ (
x ∈ A
∧
x ∉ C
)
⇔
x ∈
(A-B) ∪ (A-C)
