Définition

Si A est inclus dans E on dit que A est une 'partie' de E.
Toutes les parties de E sont elles-mêmes les éléments d'un nouvel ensemble appelé 'ensemble des parties de E' et noté ℘(E).
A ⊆ E  ⇔ A ∈ ℘(E)
Attention à ne pas confondre le symbole d'inclusion et le symbole d'appartenance. Dans le langage courant il est fréquent de dire, par exemple, qu'une droite 'appartient à un plan' alors qu'elle est en fait incluse dans le plan, les éléments du plan étant des points.
Ici, comme ailleurs, le langage mathématique exige une plus grande rigueur.
Faute de se conformer à cette règle, on arrivera vite à écrire des absurdités en manipulant des ensembles d'un degré de complexité supérieur à nos exemples.
Dans l'exemple qui suit nous listons en dessous toutes les parties de l'ensemble donné en exemple.


Nombre des parties d'un ensemble

De fait, quand on appuie un grand nombre de fois sur le bouton précédent pour générer de nouveaux exemples, la loi suivante semble se vérifier:
Nombre d'éléments de E nombre d'éléments de ℘(E)
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
Qui semble induire que, plus généralement:
Si E possède n éléments alors ℘(E) possède 2n éléments.
Cette affirmation est parfaitement exacte. On le démontre par récurrence sur le nombre d'éléments de E.
Si E ne possède aucun élément alors ℘(E) n'a qu'une partie (la partie vide). Notre proposition est donc vraie à l'ordre 0.
Supposons qu'elle soit vraie à l'ordre n-1, et soit donc F un ensemble à n-1 élément. Nous pouvons donc supposer que ℘(F) comporte 2 n-1 éléments (hypothèse de récurrence). Soit maintenant x un élément qui n'appartient pas à F et soit E=F ∪ {x}, de sorte que E est un ensemble à n éléments dont F est une partie.
Les parties de E se divisent en deux catégories:
Remarquons maintenant deux choses:
Il s'ensuit qu'il y a dans E exactement 2 fois plus de parties que dans F soit 2 × 2 n-1 =2n .

Un exemple instructif

Nous avons affirmé plus tôt qu'il ne fallait pas écrire x = {x}
Voyons ce que cela donne lorsque x = ∅
A gauche nous avons un ensemble à une partie à droite nous avons un ensemble à deux parties.

Café Python

Voici un programme qui liste l'ensemble des parties d'un ensemble.