Si A est inclus dans E on dit que A est une 'partie'
de E.
Toutes les parties de E sont elles-mêmes les éléments d'un nouvel
ensemble appelé 'ensemble
des parties de E' et noté P(E).
A ⊆ E ⇔ A ∈ P(E)
Attention à ne pas confondre le symbole d'inclusion et le symbole
d'appartenance. Dans le langage courant il est fréquent de dire, par
exemple, qu'une droite 'appartient à un plan' alors qu'elle est en fait
incluse dans le plan, les éléments du plan étant des points.
Ici, comme ailleurs, le langage mathématique exige une plus grande
rigueur.
Faute de se conformer à cette règle, on arrivera vite à écrire des
absurdités en manipulant des ensembles d'un degré de complexité
supérieur à nos exemples.
Dans l'exemple qui suit nous listons à droite toutes les parties de
l'ensemble donné à gauche en exemple.
Nombre des parties d'un ensemble
De fait, quand on appuie un grand nombre de fois sur le bouton
précédent pour générer de nouveaux exemples, la loi suivante semble se
vérifier:
Nombre d'éléments de E
nombre d'éléments de P(E)
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
Qui semble induire que, plus généralement:
Si E possède n éléments alors P(E) possède
2n éléments.
Cette affirmation est parfaitement exacte. On le démontre par
récurrence sur le nombre d'éléments de E.
Si E ne possède aucun élément alors P(E) n'a qu'une partie (la partie
vide). Notre proposition est donc vraie à l'ordre 0.
Supposons qu'elle soit vraie à l'ordre n-1, et soit donc F un ensemble
à n-1 élément. Nous pouvons donc supposer que P(F) comporte 2n-1
éléments (hypothèse de récurrence). Soit maintenant x un élément qui
n'appartient pas à F et soit E=F ∪ {x}, de sorte que E est un ensemble
à n éléments dont F est une partie.
Les parties de E se divisent en deux catégories:
Celles qui ne contiennent pas l'élément x
Celles qui contiennent l'élément x
Remarquons maintenant deux choses:
Les parties de la première catégories sont exactement les
parties de F, il y en a donc 2n-1.
Il
y a autant de parties dans chaque catégorie, car toute partie de la
deuxième catégorie est obtenue en adjoignant x à une partie de la
première catégorie.
Il s'ensuit qu'il y a dans E exactement 2 fois plus de parties que dans
F soit 2 × 2n-1=2n.
Nous avons affirmé plus tôt qu'il ne fallait pas écrire x = {x}
Voyons ce que cela donne lorsque x = ∅
A gauche nous avons un ensemble à une partie à droite nous avons un
ensemble à deux parties.
Café Python
Voici un programme qui liste l'ensemble des parties d'un ensemble.
Attention à ne pas confondre le symbole d'inclusion et le symbole
d'appartenance. Dans le langage courant il est fréquent de dire, par
exemple, qu'une droite 'appartient à un plan' alors qu'elle est en fait
incluse dans le plan, les éléments du plan étant des points.