Nous venons de voir qu'un ensemble était un objet essentiellement
capable de contenir des éléments.
Dans ces conditions, cela a-t-il un sens de considérer un ensemble 'spécial' ne
comportant aucun élément ?
De la même façon que les nombres entiers sont conçus pour dénombrer des
ensembles, fallait-il introduire le nombre 0 ?
On a vu comment a été fructueuse l'idée de l'introduction du nombre nul
(numération de position).
Il en va de même pour les ensembles.
Postuler l'existence d'un ensemble sans éléments noté ∅ et appelé
'ensemble vide'
présente beaucoup plus d'avantages que d'inconvénients.
Remarquons qu'un tel ensemble qui peut être défini par:
∀ x x ∉ ∅
est nécessairement unique.
Supposons en effet que A et B ne comportent aucun élément.
On montre que A=B par l'absurde en revenant à la définition de
l'égalité de deux ensembles.
A ≠ B équivaut à:
soit ∃ x | x ∈ A et x ∉ B
soit ∃ x | x ∈ B et x ∉ A
où ∃ est le 'quantificateur existentiel' (signifiant 'Il existe au moins
un')
La barre verticale | qui se lit donc comme 'tels que' ou 'vérifiant' peut accessoirement être remplacée par le symbole ';'
Or aucune de ces deux propositions ne peut être vraie puisque ni A ni B ne comportent le moindre élément.