Nous venons de voir qu'un ensemble était un objet essentiellement capable de contenir des éléments.
Dans ces conditions, cela a-t-il un sens de considérer un ensemble 'spécial' ne comportant aucun élément ?
De la même façon que les nombres entiers sont conçus pour dénombrer des ensembles, fallait-il introduire le nombre 0 ?
On a vu comment a été fructueuse l'idée de l'introduction du nombre nul (numération de position).
Il en va de même pour les ensembles.
Postuler l'existence d'un ensemble sans éléments noté et appelé 'ensemble vide' présente beaucoup plus d'avantages que d'inconvénients.
Remarquons qu'un tel ensemble qui peut être défini par:
∀ x  x ∉ ∅
est nécessairement unique.
Supposons en effet que A et B ne comportent aucun élément.
On montre que A=B par l'absurde en revenant à la définition de l'égalité de deux ensembles.
A ≠ B équivaut à:
soit ∃ x | x ∈ A et x ∉ B
soit ∃ x | x ∈ B et x ∉ A
∃ est le 'quantificateur existentiel' (signifiant 'Il existe au moins un')

La barre verticale | qui se lit donc comme 'tels que' ou 'vérifiant' peut accessoirement être remplacée par le symbole ';'
Or aucune de ces deux propositions ne peut être vraie puisque ni A ni B ne comportent le moindre élément.

Exemples


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