Définition

Le 'raisonnement  par l'absurde' (reduction ad absurdum) correspond à l'un des schémas de preuve suivant:
P1 P ⇒ ¬ P
------

C

¬P

P1 P ⇒ Q
P2 P⇒¬Q
------

C

¬P

La mise en oeuvre est assez simple:
On adjoint aux prémisses la négation de ce qu'on veut démontrer.
La conjonction des prémisses doit alors aboutir à une contradiction.

Exemples classiques

  1. Prenons un exemple simple et considérons la proposition « il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0 ». Dans un raisonnement par l'absurde, nous commençons par prendre la négation de la proposition : « il existe un plus petit nombre rationnel strictement positif, disons r0 ».
    Maintenant soit x = r0/2. Alors x est un nombre rationnel, x est strictement plus grand que 0 et x est strictement plus petit que r0 . Mais cela est absurde - contradictoire avec notre hypothèse initiale que r0 était le plus petit nombre rationnel. Ainsi nous pouvons conclure que la proposition d'origine est nécessairement vraie : il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0 .
  2. On veut démontrer que  √2 n'est pas rationnel (proposition ¬  P).
    On prend donc pour P: √2 est  rationnel
    P peut s'exprimer ainsi √2=p/q avec p,q entiers donc p2 =2q2 .
    Par ailleurs on peut supposer que la fraction p/q est irréductible.
    On voit donc que P ⇒ Q où Q est la proposition p2 =2q2 avec p et q premiers entre eux.
    p2 est donc divisible par 2, d'où p lui-même est divisible par 2 donc  p2 est divisible par 4, et q2 est alors divisible par 2, ce qui entraîne que p et q ne sont pas premiers entre eux donc ¬ Q.