Définitions

On dit qu'une proposition P 'implique' (synonymes: 'force', 'entraîne') une proposition Q si et seulement si Q est vraie chaque fois que P est vraie.
Exemple:
P: 1=2
Q: 2=3
Si P est vraie alors 1+1=2+1 donc Q.
Cela revient à dire qu'il est impossible qu'on ait P vraie sans avoir Q vraie également.
Autrement dit, il est impossible d'avoir P sans avoir Q.
Autrement dit encore, P∧(¬Q) est une contradiction, ou bien ¬(P∧(¬Q)) est une tautologie.
Mais en utilisant les équivalences usuelles, cela revient à:
(¬P)∨(¬(¬Q)) tautologie
Soit encore (¬P)∨Q  tautologie.
ou finalement, ce qui est encore équivalent Q∨(¬ P) tautologie.
Cela nous conduit à poser la définition suivante:
Nous noterons P⇒Q la formule Q∨(¬ P)
Nous définissons ainsi un nouvel opérateur ⇒ sur l'ensemble des formules du calcul propositionnel.
Notons les propriétés suivantes, qui résultent de la définition:
C'est en application de cette première propriété qu'on démontre par exemple que ⊆ E pour tout ensemble E.
Si P⇒Q est une implication l'implication Q⇒P s'appelle l'implication 'réciproque'.
L'implication directe peut être vraie sans que sa réciproque soit vraie.
Exemple ( x désigne un nombre entier différent de 2 ):
P: x  est premier
Q : x est impair
On a  bien P⇒Q mais on n'a pas Q⇒P
Notons maintenant P⇔Q la relation (P⇒Q)∧(Q⇒P) (double implication). On dit encore dans ce cas que P et Q sont 'équivalentes'.
La terminologie laisse à penser qu'il peut y avoir risque de confusion entre P⇔Q et P≡Q. De fait il n'en est rien si on remarque que:
P≡Q si et seulement si P⇔Q est une tautologie.
Si P⇒Q est une implication l'implication  ¬Q⇒¬P s'appelle l'implication 'contraposée'.
Toute implication est logiquement équivalente à sa contraposée.

En effet ¬Q⇒¬ P signifie  (¬P)∨(¬(¬Q)) et est équivalente à (¬P)∨Q soit encore à Q∨(¬ P)
Voici une liste de tautologies d'usage courant, correspondant compte tenu de la remarque précédente à des équivalences déjà vues :
idempotence de ¬ :
¬(¬P) ⇔ P
idempotence de et :
P ∧ P ⇔ P
P ∨ P ⇔ P
associativité de et :
P ∧ (Q ∧ R) ⇔ (P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∨ R) ⇔ (P ∨ Q) ∨ R
commutativité de et :
P ∧ Q ⇔ Q ∧ P
P ∨ Q ⇔ Q ∨ P
distributivité  :
(P ∨ Q) ∧ P ⇔ (P ∧ P) ∨ (Q ∧ R)
(P ∧ Q) ∨ R ⇔ (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
De Morgan:
¬(P ∨ Q) ⇔ (¬ P) ∧ (¬ Q)
¬(P ∧ Q) ⇔ (¬ P) ∨ (¬ Q)

Terminologie (langage courant)

Pour exprimer que P⇒Q on dit parfois que 'P est une condition suffisante pour Q' ou bien que 'Q est une condition nécessaire pour P '.
P⇔Q peut donc aussi s'exprimer par: 'P est une condition nécessaire et suffisante pour Q' ; on dit aussi dans ce cas 'P est vrai si et seulement si Q est vrai'.

Les phrases suivantes ont le même sens, elles permettent de varier un peu le discours mathématique: