La logique, liée à la notion de 'vérité' a toujours eu une composante philosophique et une composante scientifique. 
Du point de vue scientifique, la logique est le langage des mathématiques, l'ensemble des règles qui codifient le discours mathématique. En ce sens il s'agit du fondement des mathématiques.
Mais la logique est aussi une branche des mathématiques à part entière, une spécialité avec ses techniques et son langage propre. En tant que telle (spécialité des mathématiques), il s'agit d'une branche récente, très abstraite et peu facile d'accès. Ajoutons à cela que le développement récent de l'informatique a contribué au développement de la logique 'formelle' qu'il s'agisse de construire des circuits imprimés ou bien de développer le 'raisonnement' artificiel, les démonstrations dites 'automatiques'.
Donc d'un côté, il faudrait commencer l'enseignement des mathématiques par un cours de logique. De l'autre, les exigences de la pédagogie, imposent d'aller du simple au complexe.
Il faut donc trouver un compromis acceptable.
Ce compromis doit en particulier,  établir le lien entre le raisonnement 'usuel' dans une langue 'naturelle' (français, anglais, ou autre) et le raisonnement 'formalisé' exprimé au moyen d'une écriture symbolique pouvant en théorie être lue et écrite par un ordinateur.
Bien que les démonstrations de certains théorèmes n'existent aujourd'hui que sous la forme de programmes d'ordinateurs, la plupart des raisonnements sont toujours faits par des humains pensant et écrivant dans leur langue maternelle. Les ordinateurs se voient confier des tâches subalternes de vérifications et d'études de cas exhaustives qui seraient trop longues à traiter manuellement.
L'activité mathématique consiste à établir des relations 'vraies' appelées des 'théorèmes'. Encore que cette production ne doit pas être anarchique. Les assertions vraies existent en nombre infini, les programmes capables de les produire ne sont pas difficiles à écrire. Mais la science en général, et la science mathématique en particulier focalise toute son attention sur l'établissement de certaines relations qui résolvent des problèmes 'réels' qu'ils soient théoriques (Théorème de Fermat) ou techniques. Pour le moment seul l'humain a une vision d'ensemble assez large pour déterminer quelles sont les productions 'utiles'.
On peut penser que, quelques soient les projets de l'intelligence artificielle, il en sera encore ainsi pour longtemps, ce qui ne dispense évidemment pas de formaliser des raisonnements, ne serait-ce que pour s'assurer de leur validité en regard des 'règles du jeu' établies par la logique formelle.
Ainsi une introduction aux mathématiques doit évidemment comporter une introduction à la logique. Cette introduction à la logique, ne peut en aucun cas être un cours  de logique formelle. Elle ne peut pas se résumer non plus à un exposé succinct de la théorie des langages qui connaît un succès grandissant et justifié en informatique. On ne peut non plus resservir à une sauce moderne les vieilles recettes d'Aristote, de Platon et tous nos vénérables Anciens qui ont le mérite d'avoir été les  pères fondateurs de la science.
Il faudra donc essayer de rester simple, proche du langage naturel, et cependant de donner un avant-goût de ce qu'est la logique formelle, de ses buts et de ses méthodes. Vaste programme ...
Rester simple sans dire de contre-vérité est un des principaux écueils à éviter.
Voici maintenant quelques grandes figures de la logique classique et moderne:


Aristote (-384/-322 GR)

Wilhelm Leibniz (1646/1716-DE)

George Boole (1815/1864-IRL)

Bertrand Russel (1872/1970-UK)

Alfred Whitehead (1861/1947-UK)
Gottlob Frege (1848/1925-DE)
Jan Lukasiewicz (1878/1956-POL)