Définitions

Le quantificateur 'universel' (notation ∀) est utilisé en relation avec une variable pour exprimer qu'un prédicat P dépendant de cette variable est vrai pour toutes les valeurs de la variable.
On note donc cela :
∀x P(x)
Le quantificateur 'existentiel' (notation ∃ ) est utilisé en relation avec une variable pour exprimer qu'un prédicat P dépendant de cette variable est vrai pour au moins une valeur de la variable.
On note donc cela :
∃x P(x)
Les deux quantificateurs sont liés, c'est à dire que l'un peut s'exprimer au moyen de l'autre et vice-versa au moyen de la négation.
∃x P(x) peut s'écrire ¬( ∀x ¬P(x))
Notons que dans ces cas encore, la variable utilisée est arbitraire :
∀x P(x)  est équivalente à   ∀y P(y)
Nous verrons cependant que dans le cas de formules complexes utilisant plusieurs quantificateurs et donc plusieurs variables il importe d'éviter les télescopages, et donc de respecter certaines règles.
Détaillons maintenant ce qu'on entend par 'domaine de quantification'.
La phrase 'tout le monde dort' est souvent jugée vraie, même quand tous les humains de la planète ne sont pas endormis. Il s'agit souvent de tous les occupants de la maison.
Il y a donc toujours un domaine de quantification qui n'est pas déterminé par le contenu de la phrase, mais qui est un élément contextuel.
On peut toujours restreindre explicitement le domaine de quantification à un ensemble:
Si l'on veut exprimer que la propriété P(x) est vraie pour tous les éléments de E seulement on écrira:
∀x (x∈E ⇒ P(x))
que l'on abrégera parfois en :
∀x∈E P(x) (notation non strictement conforme à la syntaxe du calcul des prédicats)

Café Python

Python a créé des fonctions pour tester l'existence d'un élément dans un itérateur possédant une propriété. Mais aussi pour tester que tous les éléments de cet itérateur possède une propriété.

Une utilisation de la fonction any:

Une utilisation de la fonction all: