Définition

Une 'tautologie' est une formule du calcul propositionnel qui est TOUJOURS VRAIE quelles que soient les valeurs de ses composants atomiques.
La plus simple et la plus connue d'entre toutes est certainement celle du 'tiers exclu' :
P∨(¬P)
Mais il en existe beaucoup d'autres comme par exemple:
(P∨Q)∨(¬P)
Les tautologies jouent un rôle particulier dans toute la partie de la logique classique qu'on appelle 'théorie de la preuve'.
Nous verrons par la suite une liste de tautologies importantes.
Pour le moment, pour savoir si une proposition est une tautologie on peut se borner à dresser sa table de vérité; sa colonne ne doit contenir que des V.
Voici donc un nouvel exemple:
P
Q
¬P
¬Q
P∨Q
(¬P)∧(¬Q)
(P∨Q)∨((¬P)∧(¬Q))
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V

Notation

φ étant une formule du calcul propositionnel , on écrit:
|= φ
pour dire que φ est une tautologie.
A l'opposé une formule qui est fausse pour les valeurs de ses composants atomiques est appelée une 'contradiction' .
Ainsi φ est une tautologie si et seulement si ¬ φ est une contradiction.
La contradiction la plus commune est:
P ∧ (¬ P)

Café Python

Voici un programme qui vérifie si une formule est une tautologie, il utilise le générateur de table.