Définitions

Dans un univers donné, les 'constantes' désignent des objets précis.
La façon dont les constantes sont notées repose avant tout sur un système de codage.
Ainsi le même nombre peut être noté:
Le même nombre réel peut être noté:
La même chaîne de caractères peut être notée:
selon le délimiteur utilisé.
On utilise également des 'variables' pour désigner des éléments 'quelconques' d'un ensemble donné.
La encore les règles syntaxiques doivent être précisées. généralement les variables sont des symboles (le plus souvent des lettres majuscules ou minuscules, appartenant à divers alphabets) ou bien des assemblages de lettres, ou bien encore des assemblages de lettres et de chiffres .
Voici quelques exemples:
La tradition veut que certains symboles semblant être des variables désignent en fait des constantes ( c'est le cas par exemple de π et e en mathématiques).

A moins que les choses soient évidentes et conformes aux usages il importe donc de préciser dans tout texte mathématique
ce que sont les variables et ce qu'elles représentent, qui sont les constantes et ce qu'elles représentent.

Avant de poursuivre, attardons nous sur la nécessité d'utiliser des variables dans le discours mathématique.

Un exemple très simple est la théorie des équations.
Traditionnellement, dans ce cas, les variables s'appellent des 'inconnues' mais il s'agit exactement de la même chose.
Considérons une équation à valeurs dans ℝ toute simple comme:
2x2+3x-1=0
Une ' expression' comme 2x2+3x-1 représente à elle seule un calcul à faire, représentable au moyen d'un arbre.
La non utilisation de variables obligerait d'utiliser des expressions particulièrement lourdes en langage naturelle comme:
La différence de la somme du double du carré d'un nombre et de son triple avec 1.
Toujours en l'absence de variables on serait obligé de désigner les racines de cette équation par:
"Les nombres dont la différence de la somme du double du carré d'un nombre et de son triple avec 1 est nulle"
Ainsi qu'il s'agisse de décrire: Le recours aux variables est presque indispensable.

Notons que la plupart du temps le choix d'un symbole pour représenter une variable est totalement aléatoire (le symbole choisi n'a aucune importance).
Ainsi les équations:
2x2+3x-1=0
et
2y2+3y-1=0
sont rigoureusement les mêmes équations avec les mêmes solutions (racines).
Les écritures x  → x2 et  z  → z2 désignent la même fonction, celle qui à tout nombre associe son carré.
On parle donc souvent de variables 'muettes' (pouvant être remplacées par n'importe quel symbole).
Il faut bien voir toutefois que cette liberté a des limites:
Si au lieu d'une seule équation nous cherchons à résoudre un 'système' (plusieurs équations simultanées), il importe d'utiliser le même symbole pour les deux équations, quel que soit ce symbole.
Nous reviendrons sur ce point par la suite (portée des variables).