Définition

On appelle 'anneau' (unitaire) la donnée d'un ensemble A muni de deux lois.
Si la multiplication est aussi commutative on parle "d'anneau commutatif". Si l'anneau est commutatif la distributivité à gauche entraîne la distributivité à droite.

Quelques exemples d'anneaux finis:

Cliquez pour voir un anneau commutatif.
Distributivité de × sur +.
Associativité des deux lois.
Commutativité des deux lois.
Eléments neutres.
Paires d'éléments opposés.
Paires d'éléments inverses.
Cliquez pour voir des exemples de calcul !

Calculs dans les anneaux commutatifs

Compte tenu des propriétés des opérations des anneaux commutatifs on peut établir des égalités du genre:
(a+b)2 = a2 +2ab+b 2
ainsi que le développement de (a+b)n en fonction des coefficients C n p
Qu'on appelle couramment des 'identités remarquables'
Pour obtenir la formule ci-dessus il suffit d'appliquer deux fois la distributivité (à droite puis à gauche) et pour finir la commutativité de la multiplication.
On trouve également des factorisations intéressantes pour an -bn particulièrement intéressantes quand b=1.