Anneaux

Définition

On appelle 'anneau' (unitaire) la donnée d'un ensemble A muni de deux lois.

La première, le plus souvent notée additivement, faisant de (A,+) un groupe abélien
La seconde, le plus souvent notée multiplicativement, associative, avec élément unité 1 distinct de 0 (un anneau doit toujours avoir au moins deux éléments)
On exige encore que la seconde loi × soit distributive à gauche et à droite par rapport à +, mais pas nécessairement commutative.

Si la multiplication est aussi commutative on parle 'd'anneau commutatif'. Si l'anneau est commutatif la distributivité à gauche entraîne la distributivité à droite.

,

,

,

sont des anneaux commutatifs

Les ensembles de matrices carrées forment des anneaux (non commutatifs) avec l'addition et la multiplication usuelles

L'ensemble des fonctions de

dans

possède une structure d'anneau commutatif

Les polynômes à une ou plusieurs variables à coefficients dans un anneau A forment eux-mêmes un anneau (commutatif si A est lui-même commutatif)

Voici encore quelques exemples d'anneaux finis:

Calculs dans les anneaux commutatifs

Compte tenu des propriétés des opérations des anneaux commutatifs on peut établir des égalités du genre:
(a+b)² = a²+2ab+b^{2

ainsi que le développement de (a+b)ⁿ en fonction des coefficients Cp,n}Qu'on appelle couramment des 'identités remarquables'
Pour obtenir la formule ci-dessus il suffit d'appliquer deux fois la distributivité (à droite puis à gauche) et pour finir la commutativité de la multiplication.
On trouve également des factorisations intéressantes pour aⁿ-bⁿ particulièrement intéressantes quand b=1.