Définition

En présence d'expressions mathématiques comportant simultanément plusieurs opérateurs, les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre préférentiel des opérations.
Soit * une loi sur E.
On dit que * est  'associative' si elle possède la propriété suivante:
∀ (x,y,z) ∈ E3 (x*y)*z=x*(y*z)
Naturellement cette formulation varie pour des notations inhabituelles:

Exemples de lois associatives:

Lois non associatives:

Autres exemples de lois associatives.

A la différence de la commutativité, il n'existe pas de méthode de visualisation instantanée de cette propriété sur un petit graphique. Nous exhibons ici quelques lois associatives. Sous la table quelques calculs vérifient l'associativité pour des triplets aléatoires. Le lecteur pourra pourra vérifier manuellement d'autres formules de son choix, après avoir contrôlé l'exactitude des égalités données.



Suppression des parenthèses

En principe si la loi n'est pas associative les deux éléments (x*y)*z et x*(y*z) sont distincts de sorte que l'expression x*y*z n'a pas de sens puisque l'ordre des opérations n'est pas précisé.
Cependant si la loi est associative on pourra écrire x*y*z sachant qu'il n'y a pas d'ambiguïté. C'est que qui est presque toujours fait en pratique avec des écritures telles que x+y+z

Café Python

Voici une façon de tester l'associativité d'une loi: