Soit E un ensemble. On suppose qu'on a sur E deux lois internes notée
respectivement T et *.
On dit que '* est 'distributive à gauche' par rapport à T' si :
∀ (x,y,z) ∈ E3 x*(yTz)=(x*y)T(x*z) On définirait de même la distributivité à droite.
Lorsqu'on dit 'distributive' il s'agit de distributivité simultanée à gauche et à droite.
Naturellement cette propriété s'exprime différemment suivant les notations.
Par exemple en préfixé, op1 distributive à gauche par rapport à op2 se notera: (op1 x (op2 y z))=(op1(op2 x y) (op2 x z))
En postfixé, op1 distributive à droite par rapport à op2 se notera ( (x z op2) (y z op2) op1) = ((x y op1) z op2)
Pour l'exponentiation : xyz=xyxz
Quelques exemples:
Dans les ensembles de nombres la multiplication est distributive par rapport à la réunion, mais pas réciproquement.
Dans les ensembles de parties l'intersection est distributive par rapport à la réunion et réciproquement
Dans les ensembles de
parties la différence symétrique est distributive par rapport à la réunion, mais pas
réciproquement.
Dans
l'ensemble des entiers non nuls l'exponentiation est distributive par
rapport à la multiplication, mais pas par rapport à l'addition.
Voici quelques autres exemples dans le cas d'un ensemble fini: