Définition
Une loi 'externe'
est une première généralisation des lois de composition internes.
On accepte que la source soit le produit cartésien de deux ensembles distincts.
Ainsi, formellement, une loi 'externe sur l'ensemble A sera définie
comme une application de B × A dans A
où B est un ensemble éventuellement différent de A.
Une telle loi peut être symbolisée par un point '.' ou bien aucun
symbole (le composé de x et y se note simplement xy comme
dans la notation multiplicative), ou bien par tout autre symbole.
Voici quelques exemples:
- Si G est un groupe notée additivement l'application (n,x)
→ nx est
une loi externe de
× G dans G
- Si E désigne l'espace des vecteurs à 2 ou 3 dimensions et
si V désigne
un vecteur, et λ un réel, l'application ( λ, V) → λV
(multiplication par un scalaire) est une loi externe sur E.
Les lois internes apparaissent alors comme des cas particuliers de lois
externes.
Voici quelques autres exemples: