Définition

La structure de groupe est une des plus simples et des plus importantes. Ce sont Galois et Abel qui ont posé les bases de la théorie. Nous nous contentons ici de donner les définitions, pour pouvoir les réutiliser de façon synthétique, pour plus de concision, dans les chapitres suivants. La théorie des groupes est aujourd'hui une partie fondamentale de l'algèbre, toujours très active. Les résultats sont nombreux et pas toujours simples à exposer et à comprendre.
Deux jeunes mathématiciens, héros romantiques aux destinées tragiques, sont à l'origine de cette notion:
Evariste Galois (1811/1832-FR) Niels Abel-(1802/1829-NOR)

Un 'groupe' consiste en la donnée d'un ensemble E sur lequel est définie une loi de composition interne, notée  par exemple *, et  possédant les propriétés suivantes:
En outre, si la loi est commutative, le groupe est dit 'commutatif' ou 'abélien'.
Attention! Ce qu'on appelle groupe c'est le couple (E,*). Il peut y avoir simultanément plusieurs structures de groupe sur un même ensemble.

Quelques exemples

Autres exemples de lois de groupes sur des ensembles finis




Café Python

Voici une façon de tester une structure de groupe abélien: