Soit E un ensemble muni d'une loi  interne * et soit F un autre ensemble muni d'une autre loi ×
On muni le produit cartésien E×F d'une loi . ainsi définie à partir de * et ×
(x1,y1).(x2,y2)=(x1*x2, y1 × y2)
La loi . s'appelle le 'produit' de * et × .
Nous avons immédiatement un ensemble de propriétés évidentes:
Bien sûr, F peut être égal à E et * égale à ×, la loi produit est alors définie sur E2
Par exemple si E=  R et si * est l'addition, le produit de + par elle même correspond exactement à l'addition des vecteurs du plan (identifiés à  R2).

On peut généraliser ce produit de deux lois à des produits cartésiens de plusieurs ensembles (addition dans  Rn).
On peut même généraliser à des produits 'infinis'. Par exemple si E est un ensemble muni d'une loi * et si F est un ensemble quelconque, l'ensemble EF de toutes les applications de F dans E peut être muni d'une loi * (déduite de * comme produit 'infini') par la formule:
 ∀ x ∈ F (f *g)(x)=f(x)*g(x).
C'est par exemple le cas pour les sommes et les produits de fonctions numériques de  R dans  R.