Définition

Une 'loi de composition interne' ou encore plus simplement 'opération' sur un ensemble E est tout simplement une application de E × E → E.
On utilise cependant des notations et un vocabulaire un peu différents de ceux utilisés dans la théorie des applications.
L'image d'un couple (x,y), s'appelle leur 'composé' par la loi. x et y s'appellent les 'arguments'.
Pour noter une loi on utilise souvent un symbole appelé 'opérateur'.
Voici quelques symboles utilisés fréquemment:: +, ×, / , * , . ,  ∪ ,∩, ÷
En voici d'autres plus rares: ⊗, ⊕
Parallèlement à ce symbole on utilise souvent la notation 'infixe'. L'image du couple (x,y) par l'opération utilisant le symbole ⊗ sera notée x ⊗ y, plutôt que ⊗(x,y) conformément à la notation usuelle préfixée des fonctions.
On peut également utiliser des niveaux d'écriture différents par exemple le composé de x et y pourra être noté : x y
On pourra dans certains cas ne pas utiliser de symbole du tout, avec ou sans différentiation de niveau par exemple xy (produit de x par y) ou bien xy (exponentiation)
On pourra aussi utiliser (particulièrement en informatique) un 'mot-clé' exemple: x mod y désignant le reste de la division de l'entier x par l'entier y.

Voici quelques exemples:

A côté de la notion infixe la plus courante, on trouve la notation préfixée du style (op x y) où op est le symbole de l'opérateur et x et y les deux arguments, dite encore parfois 'polonaise inversée'.
Cette notation utlilisée principalement par certains langages informatiques (Lisp, Scheme) présente des intérêts car elle est compatible avec la structure de liste, laquelle structure permet de représenter des 'arbres', lesquels 'arbres' sont des chémas d'évaluation d'expressions complexes mélangeant plusieurs opérations.
On trouve aussi la notation dite 'postfixée' (ou polonaise) du style (x,y, op).
Cette notation est associée à l'usage de certaines calculatrices utilisant une pile.
Pour finir, c'est assez rare mais cela se produit que l'ordre des arguments soit inversé, on parle alors de 'sens de circulation' droite gauche. Un exemple simple: la composition des applications. La composée de f et g se note gof (et non fog !). Cela est dû au fait que pour l'image de x par f on ait (malencontreusement) choisi la notation f(x), au lieu de x(f) (notation orientée 'objet'). Dans le second cas le composé de x par f puis par g aurait été noté (x(f))g, et la composée de f et g se serait naturellement notée fo g....
Dans le cas des ensembles finis une opération se représente naturellement par une 'table'.

Voici encore quelques exemples.

Nous utilisons ici  le symbole * .


Cliquez pour générer des lois aléatoires sur des ensembles aléatoires.

Café Python

Voici une façon de générer aléatoirement une loi de composition sur un ensemble fini: