Définitions
Les ensembles et les opérations sont très nombreux et les symboles sont
limités. Pour cette raison, on utilisera souvent les mêmes symboles pour
désigner des opérations différentes sur des ensembles différents.
En particulier le symbole '+'
est largement utilisé pour dénoter de nombreuses opérations que l'on appelle 'additions'.
Voici quelques exemples:
- Les additions sur les différents ensembles de nombres.
- Les additions de vecteurs
- Les additions de fonctions numériques
On convient toutefois de restreindre l'usage de cette notation à des lois de groupes
commutatifs.
- Le neutre sera noté 0 et appelé 'élément nul'
(x+0=0+x=x)
- L'addition sera donc commutative
(x+y=y+x ∀ (x,y) ∈ E × E)
- Le composé de deux éléments sera appelé leur 'somme'.
- Dans la somme x+y, x et y s'appellent les 'termes'.
- Le symétrique de tout élément x sera noté -x et appelé son 'opposé'.
(x+(-x))=0 ∀ x ∈ E)
- Si x et y sont des éléments de E nous noterons par
convention x-y =
x+(-y), définissant ainsi une nouvelle opération appelée 'soustraction'
(mais non associative et sans neutre)
La loi + étant supposée associative des écritures non
parenthésées telles que:
x+y+z
x1+x2+....+xn
ont un sens
on les appelle des 'sommes généralisées' et chacun des éléments de la somme est appelé un 'terme' de la somme.
Enfin si x ∈ E et si n ∈ 
nous poserons par
convention:
| nx= |
0 si n=0 |
| x si n=1 |
| x+x+...+x (somme de n termes tous égaux à x)
si n>0 |
| (-n)(-x) si n <0 (voir définition ci-dessus) |
Les nombres de la forme nx sont appelés les 'multiples'
de x.
Règles de calcul avec les multiples:
-
(m+n)x=mx+nx ∀ x ∈ E et ∀ (m,n)
∈ 2 .
-
m(x+y)=mx+my ∀ m ∈ et ∀ (x,y) ∈ E
× E.
-
m(-x)=-mx ∀ x ∈ E et ∀ m ∈
-
(m-n)x=mx-nx ∀ x ∈ E et ∀ (m,n)
∈ 2 .
-
m(x-y)=mx-my ∀ m ∈ et ∀ (x,y) ∈ E
× E.
Voici donc quelques exemples dans des ensembles finis: