Les ensembles et les opérations sont très nombreux et les symboles sont
limités. Pour cette raison, on utilisera souvent les mêmes symboles
pour
désigner des opérations différentes sur des ensembles différents.
En particulier le symbole
'×'
est largement utilisé pour dénoter de nombreuses opérations que l'on
appelle
'multiplications'.
Voici quelques exemples:
Les multiplications sur les différents ensembles de nombres
Les multiplications de matrices
Les multiplications de fonctions numériques
Alternativement on utilise aussi pour les multiplications :
Le symbole
'.'
(point) (le composé de a et b est noté a.b)
Aucun symbole (le composé de a et b est simplement noté ab)
Le
neutre
sera noté 1 et appelé
'élément
unité'
(x1= 1x=x)
Le
composé
xy de deux éléments sera appelé leur
'produit'.
Dans le produit xy chaque élément s'appelle un
'facteur'.
Le
symétrique
de tout élément x sera noté 1/x ou x-1
et appelé son
'inverse'.
x(1/x)=1 ∀ x ∈ E)
Si x et y sont des éléments de E nous noterons par
convention x/y =xy-1, cette écriture n'ayant un sens que
si y est
'inversible'
La loi × étant supposée
associative
des écritures
non
parenthésées
telles que:
xyz
x1x2...xn
ont un sens
on les appelle des
'produits
généralisés'
et chacun des éléments est appelé
un
'facteur'
du produit.
Enfin si x ∈ E et si n ∈
ℤ
nous poserons par
convention:
xn=
1 si n=0
x si n=1
xx...x (n facteurs tous égaux à x)
si n>0
(x-1)-n
si n <0 (voir
définition ci-dessus) seulement si x est inversible
Les nombres de la forme xn
sont appelés
les
'puissances'
de x.
Règles de calcul avec les puissances:
x
(m+n)
=xm
xn
∀ x ∈ E
et ∀ (m,n)
∈
ℤ2.
(xy)m
=xm
ym
∀ m ∈
ℤ
et ∀ (x,y) ∈ E×E.
(1/x)m=x-m
∀ x ∈ E et ∀ m ∈
ℤ
(si x inversible)
xm-n=xmx-n
∀ x ∈ E et ∀ (m,n)
∈
ℤ2
.(si x inversible)
(x/y)m=xm/ym
∀ m ∈
ℤ
et ∀ (x,y) ∈ E×E. ( y inversible et x inversible si m négatif)