Définitions
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *.
On considère sur E une relation d'équivalence ≡.
On dit que * est 'compatible'
avec ≡ si :
∀ (x1,y1),(x2,y2)
∈ E × E x1 ≡ x2
et y1 ≡ y2
⇒ x1*y1 ≡ x2*y2
.
Considérons par exemple la relation dite de congruence sur
:
x ≡ y ssi x et y ont même reste dans la division par n (n
entier fixé).
On peut voir (exercice) que cette relation est compatible avec les
opérations + et × sur
Cela dit, si * est compatible avec ≡ sur E, la loi * induit une loi
(que nous noterons encore *) sur l'ensemble quotient E/ ≡.
En
effet si x et y sont deux éléments de E, X et Y leurs classes
d'équivalence pour ≡, pour tout x' de X et tout y' de Y la classe de
x'*y' reste inchangée appelons Z cette classe, on peut donc poser
Z = X*Y
La loi ainsi construite est appelée 'loi quotient'
de * par ≡.
Ainsi , reprenons notre exemple des congruences avec n=5.
Soit X la classe formée des entiers dont le reste dans la division par
5 est 3
Soit Y la classe formée des entiers dont le reste dans la division par 5
est 2
Alors X+Y est l'ensemble des multiples de 5
XY est l'ensemble des entiers ayant pour reste 1 dans la division par 5
Voici maintenant un exemple de relation d'équivalence avec loi compatible: