Définitions

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *.
On considère sur E une relation d'équivalence ≡.
On dit que * est 'compatible' avec ≡ si :
∀ (x1,y1),(x2,y2)∈ E×E  x1≡x2 et y1≡y2 ⇒ x1*y1≡x2*y2 .
Considérons par exemple la relation dite de congruence sur ℤ :  x ≡ y ssi x et y ont même reste dans la division par n (n entier fixé).
On peut voir  ( exercice) que cette relation est compatible avec les opérations  + et × sur ℤ
Cela dit, si * est compatible avec ≡ sur E, la loi * induit une loi (que nous noterons encore *) sur l'ensemble quotient E/ ≡.
En effet si x et y sont deux éléments de E, X et Y leurs classes d'équivalence pour ≡, pour tout x' de X et tout y' de Y la classe de x'*y' reste inchangée appelons Z cette classe, on peut donc poser
Z = X*Y
La loi ainsi construite est appelée 'loi quotient' de * par ≡.
Ainsi , reprenons notre exemple des congruences avec n=5.
Soit X la classe formée des entiers dont le reste dans la division par 5 est 3.
Soit Y la classe formée des entiers dont le reste dans la division par 5 est 2.
Alors X+Y est l'ensemble des multiples de 5.
XY est l'ensemble des entiers ayant pour reste 1 dans la division par 5.

Voici maintenant d'autres exemples de relation d'équivalence avec loi compatible:

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de relations d'équivalence et de lois compatibles !