Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi interne * possédant un élément neutre ε et soit x un élément de E.
On dit que x' ∈ E  est 'symétrique de x' pour * si et seulement si:
x*x'=x'*x= ε
Exemples:

Autres exemples sur des ensembles finis:



Propriété

Si la loi * est associative tout élément possède au plus un symétrique.
La preuve est immédiate:
Supposons que x possède deux symétriques x' et x".
On a alors x'*x*x"= (x'*x)*x"=x'*(x*x") par associativité
et (x'*x)*x"= ε * x" = x" et x'*(x*x")= x' * ε =x'

Café Python

Voici une façon de tester que deux éléments sont symétriques: