Soit E un ensemble muni d'une
loi
interne * possédant un
élément neutre
ε et soit x un élément de E.
On dit que x' ∈ E est
'symétrique de
x'
pour * si et
seulement si:
x*x'=x'*x= ε
Exemples:
-x est symétrique de x pour + sur tout ensemble
de nombres
1/x est symétrique de x pour la multiplication
sur tout
ensemble de nombres.
La
permutation
réciproque de f est symétrique de f pour la
composition.
Sur ∅ est neutre pour la
différence symétrique
Δ
et toute
partie est sa propre symétrique
Autres exemples sur des ensembles finis:
Propriété
Si la loi * est
associative
tout élément possède
au plus un symétrique.
La preuve est immédiate:
Supposons que x possède deux symétriques x' et
x".
On a alors x'*x*x"= (x'*x)*x"=x'*(x*x") par associativité
et (x'*x)*x"= ε * x" = x"
et x'*(x*x")= x' * ε =x'
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Voici une façon de tester que deux éléments sont symétriques: