Définitions

Il peut arriver qu'un ensemble possède des majorants sans pour autant posséder de plus grand élément.
Nous considérons sur ℝ la relation xRy: x ≤ y.
Prenons pour partie X, par exemple, l'intervalle [0,1[ de ℝ c'est à dire
X={x ∈ ℝ | x ≥ 0 ∧ x < 1}
Alors X a des majorants. 1 est majorant et tout nombre y ≥ 1 est également un majorant de façon évidente.
Peut-il exister un majorant de X dans X?
Supposons qu'un tel majorant a existe, alors forcément a<1, donc (1+a)/2 est > a et est < 1 donc ∈ X, ce qui contredit que a est un majorant de X.
Donc X possède des majorants, mais pas de plus grand élément.
Par contre, l'ensemble des majorants de X est M=[1, + ∞ [, donc M possède un plus petit élément.
Un tel élément s'appelle une 'borne supérieure' pour X.
Donc la borne supérieure, si elle existe, est le plus petit élément de l'ensemble des majorants.
De la même façon la borne inférieure est le plus grand élément de l'ensemble des minorants (s'il existe).
On dit qu'un ensemble est 'borné supérieurement' (resp. inférieurement) s'il possède au moins un majorant (resp. au moins un minorant).
Nous venons de donner un exemple de partie ne possédant pas de plus grand élément, mais possédant une borne supérieure.
Il existe des parties ne possédant ni l'un ni l'autre (par exemple des parties non bornées (comme [1, + ∞ [, dans ℝ.
La question est de savoir si pour une partie bornée supérieurement, il existe forcément une borne supérieure.
La réponse est négative:
Il existe des parties bornées supérieurement ne possédant ni plus grand élément, ni borne supérieure.
Nous allons donner un exemple.

Nous prendrons pour acquis (c'est connu depuis la plus haute antiquité, et nous le démontrerons par la suite, qu'il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré est égal à 2.
L'équation x2=2 ne possède aucune solution dans ℚ.
Prenons pour ensemble E=ℚ et pour partie X={x∈ℚ|x2<2∧x>0}.
Alors X admet clairement des majorants dans ℚ, par exemple 1,5 ou bien 2 etc...
Mais l'ensemble M des majorants de X ne peut pas posséder de plus petit élément dans ℚ.
Supposons en effet que a∈ℚ vérifie a2>2 (soit un majorant de X).
Alors nous allons montrer qu'il existe un autre majorant de X de la forme a-h avec h >0 et h∈ℚ.
Il faut donc montrer qu'on peut résoudre en h rationnel le système:
h >0
(a-h)2>2
a-h>0
la seconde équation peut s'écrire:
a2-2ah+h2>2
Soit:
2ah-h2<a2-2
Posons d=a2-2 donc d>0
L'inéquation peut encore s'écrire:
h2-2ah+d>0
C'est une inéquation du second degré ayant pour discriminant réduit a2-d.
Soit a2-d est négatif auquel cas tout h rationnel est solution, soit il est positif.
Dans ce dernier cas une des deux racines (réelles) est h1=a+√(a2-d) qui est un nombre positif l'autre racine étant h2=a-√(a2-d) qui est positive aussi.
Il suffit donc de prendre h rationnel entre 0 et h2 (on utilise ici le fait que tout intervalle réel contient des rationnels. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement).
Donc, même dans le cas d'ensemble majorés, il est possible qu'il n'y ait ni plus grand élément ni borne supérieure.
Cependant, l'ensemble ℝ possède une propriété fondamentale (que nous démontrerons par la suite, mais qu'il est bon de retenir dès maintenant):

Propriété importante

Le résultat qui suit est un des théorèmes les plus importants de l'analyse réelle. Sa démonstration n'a pas sa place ici.
Dans ℝ tout ensemble majoré (resp. minoré) admet une borne supérieure (resp. une borne inférieure).
Le contre-exemple que nous avons pu construire était donc bien lié au fait que nous travaillions dans l'ensemble ℚ et non dans l'ensemble ℝ !
Cela dit, il est clair que:
Si un ensemble possède un plus grand élément (resp. un plus petit élément), alors il possède une borne supérieure (resp. inférieure) et les deux coïncident.