Une relation met toujours en jeu deux ensembles.
Dans la vie courante elle est traduite par un prédicat, c'est à dire une affirmation dont on peut dire qu'elle est vraie ou fausse à l'exclusion de toute autre possibilité.
Si E et F sont des ensembles d'êtres humains on peut par exemple définir une relation de E vers F par une phrase du type "x est le père de y" où x est un symbole désignant un élément générique de E et y un symbole désignant un élement quelconque de F.
Le graphe d'une relation est l'ensemble des couples (x,y) tel que x est relié à y. Dans notre exemple, un couple est un élément du graphe si x désigne un individu étant le père de y.
Dans la vie courante les relations sont données par des prédicats et le graphe est déduit du prédicat. D'un point de vue formel il est beaucoup plus simple, du strict point de vue de la théorie des ensembles, de procéder en sens inverse, c'est à dire de définir une relation par un graphe, qui sera lui-même défini comme une partie d'un ensemble 'produit'.
Toute relation possède une réciproque. Ainsi la relation "... est le père de ..." a pour réciproque "... est l'enfant de ...".
Il existe des relations entre les relations elles-mêmes.
Ainsi la relation "... est la fille de ..." implique-t-elle " ... est l'enfant de ...". Mais ces deux relations ne sont pas équivalentes.
Les relations mathématiques formelles sont importantes en informatique, pour une bonne compréhension des bases de données relationnelles; les ensembles correspondant à des tables. Ainsi la table des auteurs peut être mise en relation avec la table des ouvrages par "... a écrit ...". De telles relations peuvent être "un à plusieurs" (anglais 'one to many'), un homme peut-être le père de plusieurs enfants. Elles peuvent être "plusieurs à plusieurs" (many to many) un auteur peut avoir écrit plusieurs ouvrages, et un ouvrage peut être écrit par plusieurs auteurs.
Voici les points qui vous nous préoccuper dans ce chapitre.