Classes d'équivalence.


Soit une relation d'équivalence sur un ensemble E, que nous noterons, conformément aux usages par ≡.
Si x est un élément de E nous appellerons 'classe d'équivalence' de x pour la relation ≡, l'ensemble des éléments qui lui sont reliés, c'est à dire encore, l'ensemble des images de x par ≡, ou encore l'image directe de {x} par ≡. Nous noterons cette classe C(x).
Voici une propriété importante:
x ≡ y  ⇔  C(x)=C(y)
Cela se démontre facilement. Si x ≡ y alors tout élément relié à x est relié à y par transitivité donc C(x) ⊆ C(y). L'inclusion en sens opposé se démontre de la même manière.
Une conséquence immédiate est la suivante:
Deux classes C(x), C(y) sont ou disjointes ou confondues.
En effet dès que deux classes possèdent un élément commun tout élément de la première est relié à tout élément de la seconde par transitivité et vice-versa.
En outre les classes d'équivalence sont non vides.
En effet  ∀ x ∈ E  x ∈ C(x) par réflexivité.
Conclusion:
Les classes d'équivalence pour ≡ forment une partition de E.
L'ensemble des classes constitue un ensemble appelé 'ensemble quotient de E par la relation ≡'.
Si X est la classe d'équivalence de x pour ≡ ont dit aussi que x est un 'représentant' de X.

Quelques exemples

Voici un schéma d'un ensemble partitionné en 3 classes C(x) C(y) C(z)

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