Nous allons utiliser ici une méthode constructiviste classique et apparemment paradoxale qui consiste à 'supposer le problème résolu' . On établit ainsi un ensemble de conditions nécessaires pour l'existence de l'objet cherché, puis dans un second temps, on montre que ces conditions sont suffisantes. Notons que cette technique ne fonctionne pas dans tous les cas .
Notre problème est donc de construire une extension de ℝ ayant au minimum une structure d' anneau et contenant un élément i vérifiant i²=-1.
Appelons K cet anneau, K doit au minimum contenir ℝ[i] (voir exercices sur les réels concernant cette notation), c'est à dire l'ensemble des polynômes en i à coefficients dans ℝ. K doit donc au minimum contenir les éléments de la forme a+bi (polynômes du premier degré).
Soient a+bi et c+di ∈ K, K étant un anneau on doit avoir (a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i. On doit avoir également (a+bi)(c+di)=(ac+dbi²)+(ad+bc)i=(ac-db)+(ad+bc)i puisque i²=-1.
Cette remarque étant faite désignons par ℂ le produit cartésien ℝ×ℝ avec les opérations suivantes:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)×(c,d)= (ac-bd,ad+bc)
On vérifie facilement que:
ℂ avec son addition est un groupe abélien additif.
Le nul étant le couple (0,0) et l'opposé de (a,b) étant (-a,-b).
On vérifie également que:
Le produit ainsi défini est commutatif, associatif, distributif à gauche et à droite par rapport à l'addition. En outre (1,0) est clairement une unité pour ℂ.
Ce qui fait que:
(ℂ, +, ×) devient un anneau commutatif unitaire.
Passons maintenant aux éléments inversibles.
(a,b) inversible ⇔ ∃ (c,d) ∈ ℝ×ℝ tel que:
ac-bd=1
ad+bc =0.
On voit que:
(a,b) ≠ (0,0) ⇔ a²+b² ≠ 0.
On voit aussi que:
Cette condition est nécessaire et suffisante pour que le système ci-dessus possède une solution unique cette solution étant (a/(a²+b²), -b/(a²+b²)).
En résumé:
ℂ est donc bien un corps commutatif.
Il reste maintenant à voir comment ℝ s'identifie à un sous corps de ℂ
Considérons l'application: a → (a,0) de ℝ → ℂ. On vérifie immédiatement que:
C'est un homomorphisme injectif.
D'où notre proposition.
Désignons maintenant par i le couple (0,1). On voit que i²=(1,0) donc i²=1 compte tenu de l'identification précédente.
Par ailleurs si b est réel, bi=(b,0)×(0,1) = (0,b), d'où nous tirons a+bi=(a,b).
A partir de maintenant nous abandonnerons définitivement l'écriture des complexes sous forme de couples pour ne garder que la forme 'usuelle' a+bi.
Si z=a+bi, a s'appelle la 'partie réelle' de z et b s'appelle la 'partie imaginaire' de z.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est dit 'imaginaire pur'.
Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit simplement 'réel'.
Si z est un nombre complexe z=a+bi, le nombre z=a-bi s'apelle le 'conjugué' de z.