Les entiers de Gauss sont les nombres complexes de la forme a+bi avec
a, b ∈ ℤ.
Clairement les entiers de Gauss forment un
anneau
contenant ℤ et i, et c'est le plus petit sous-anneau
de ℂ possédant ces propriétés.
Nous appellerons
'norme'
d'un entier de Gauss a+bi, le nombre entier a²+b² (attention ce n'est
pas la norme euclidienne, il n'y a pas de racine carrée). Si z=a+bi
nous noterons cette norme N(z).
On a alors les formules:
N(z)=|z|²
N(zz')=N(z)N(z')
N(1)=1
Ceci montre que la norme des entiers de Gauss inversibles doit être
égale à 1.
Il n'y a donc que 4 possibilités z=1, z=-1, z=i, z=-i.
Il existe un résultat similaire à la division euclidienne dans les
entiers.
Si u et v sont des entiers de Gauss avec v non nul. On peut toujours
trouver des couples d'entiers de Gauss q et r tels que:
u=qv+r et N(r) < N(v)
En divisant par v le résultat équivaut à l'existence d'un entier de
Gauss tel que:
|u/v -q| <1.
De
fait les solutions à l'inéquation ci-dessus existent toujours et leur
nombre peut être compris entre 1 et 4. Il suffit de constater que les
entiers de Gauss forment un quadrillage du plan et que tout complexe
tombe dans un carré de ce quadrillage, les solutions possibles
correspondent donc aux quatre coins de ce carré.
Comme dans le cas de ℤ
la conséquence est que les entiers de Gauss forment un anneau
'principal'
en ce sens que tout
idéal
est formé des multiples d'un seul
et même élément.
Café Python
Voici un programme effectuant une division euclidienne dans les entiers
de Gauss