Définitions et principaux résultats

Les entiers de Gauss sont les nombres complexes de la forme a+bi avec a, b ∈ ℤ.
Clairement les entiers de Gauss forment un anneau contenant ℤ et i, et c'est le plus petit sous-anneau de ℂ possédant ces propriétés.
Nous appellerons 'norme' d'un entier de Gauss a+bi, le nombre entier a²+b² (attention ce n'est pas la norme euclidienne, il n'y a pas de racine carrée). Si z=a+bi nous noterons cette norme N(z).
On a alors les formules:
N(z)=|z|²
N(zz')=N(z)N(z')
N(1)=1
Ceci montre que la norme des entiers de Gauss inversibles doit être égale à 1.
Il n'y a donc que 4 possibilités z=1, z=-1, z=i, z=-i. Il existe un résultat similaire à la division euclidienne dans les entiers.
Si u et v sont des entiers de Gauss avec v non nul. On peut toujours trouver des couples d'entiers de Gauss q et r tels que:
u=qv+r et N(r) < N(v)
En divisant par v le résultat équivaut à l'existence d'un entier de Gauss tel que:
|u/v -q| <1.
De fait les solutions à l'inéquation ci-dessus existent toujours et leur nombre peut être compris entre 1 et 4. Il suffit de constater que les entiers de Gauss forment un quadrillage du plan et que tout complexe tombe dans un carré de ce quadrillage, les solutions possibles correspondent donc aux quatre coins de ce carré.
Comme dans le cas de ℤ la conséquence est que les entiers de Gauss forment un anneau 'principal' en ce sens que tout idéal est formé des multiples d'un seul et même élément.

Café Python

Voici un programme effectuant une division euclidienne dans les entiers de Gauss