La notation d'Euler

Euler a proposé la notation eiy=cosy+isiny.
Cela peut paraître étrange de connecter ainsi une fonction à croissance rapide avec des fonctions trigonométriques. Pour qui connaît la théorie des séries entières et des représentations des fonctions par de telles séries, c'est au contraire une idée très naturelle. Quoi qu'il en soit la formule de De Moivre va s'écrire maintenant :
eniy=(eiy)n
(logique, non ?).
On aura également
ei(u+v)=eiueiv
(rassurant ...)
L'application  y → eiy de ℝ → ℂ est donc un homomorphisme de  (ℝ,+) dans  (ℂ, ×).
Si maintenant on veut définir l'exponentielle de tout nombre complexe z=x+iy, il semble avisé de proposer :
ez=exeiy
C'est un excellent choix qui nous donnera une fonction prolongeant l'exponentielle réelle, tout en prolongeant également l'identité algébrique satisfaite par exp à savoir eu+v=euev. D'une telle fonction on ne peut attendre que de bonnes propriétés. Personne ne sera déçu.