Pouvons nous continuer à suivre notre fil conducteur (la résolution des équations algébriques) pour construire de nouveaux ensembles de nombres ?
La réponse est NON ! Le théorème fondamental de l'algèbre nous dit que cette quête est inutile. Alors que notre but initial était seulement de résoudre les équations du second degré à discriminant négatif, nous avons été largement récompensés pour ce travail. Dans l'ensemble ℂ que nous avons construit il est (théoriquement) possible de résoudre n'importe quelle équation quel que soit son degré. C'est inattendu mais c'est ainsi.
La réponse à cette dernière question est positive mais si on veut construire des extensions de ℂ, il faudra abandonner l'une au moins des deux conditions suivantes:
Une extension E d'un corps K est dite 'algébrique' si tout élément de E est racine d'une équation polynomiale P(x)=0 à coefficients dans K.
Nous supposons par ailleurs que tout le monde sait maintenant ce qu'est un corps commutatif.
Les algébristes montrent facilement que:
ℂ ne possède aucune extension algébrique commutative, ou du moins que toute telle extension est isomorphe à ℂ, c'est à dire n'est pas fondamentalement distincte de ℂ.
Cela dit ℂ possède des extensions non commutatives. En particulier le 'corps des quaternions' noté H en souvenir du mathématicien Hamilton.
Formellement H= ℝ×ℝ×ℝ×ℝ= ℝ4
Notation particulières:
i=(0,1,0,0)
j=(0,0,1,0)
k=(0,0,0,1)
De sorte que tout élément x de H x= (a,b,c,d) peut s'écrire (à la mode complexe) x=a+bi+cj+dk
La somme est définie terme à terme faisant de (H,+) un groupe abélien additif d'élément neutre (0,0,0,0).
Pour définir le produit nous allons le faire au moyen d'une table:
× i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1
Par la suite nous étendons ce produit à H tout entier par distributivité et associativité:
(a+bi+cj+dk)(a'+b'i+c'j+d'k)= aa'+ab'i+ac'j+ad'k-ba'i -bb'+bc'k-bd'j+ca'j-cb'k-cc'+cd'i+da'k+db'j-dc'i-dd'
=(aa'-bb'-cc'-dd') + (ab'-ba'+cd'-dc')i+(ac'-bd'+ca'+db')j+(ad'+bc'-cb'+da')k
On peut vérifier que l'on obtient ainsi un anneau évidemment non commutatif.
On peut démontrer que si, imitant ce que nous avons fait pour ℂ  on pose :
pour tout x=a+bi+cj+dk x =a-bi-bj-ck et ||x||= √(a²+b²+c²+d²)
Tout élément x non nul possède un inverse x -1 donné par:
x -1 = x /||x||²

d'où la structure de corps annoncée.

William Rowan Hamilton
(1805/1865-IRL)
Pour ce qui concerne les extensions commutatives (donc non algébriques) on peut déjà proposer, entre autres, ℂ(X), le corps des fractions rationnelles à coefficients dans ℂ, dont les éléments sont les quotients de polynômes  formels P(X)/Q(X) à coefficients complexes.