L'énoncé du théorème

Le "théorème fondamental de l'algèbre" encore connu sous le nom de "théorème de d'Alembert-Gauss" peut s'énoncer ainsi :
Tout polynôme à coefficients complexes de degré ≥ 1 possède au moins une racine dans ℂ
Nous avons vu en pratique que c'est le cas pour les polynômes de degré 1,2,3,4, mais cela ne s'arrête pas là. Cela ne signifie d'ailleurs pas qu'on dispose de règles de résolution explicites par radicaux comme avec les formules de Cardan et de Ferrari (on a même la certitude du contraire), mais quel que soit le degré les racines existent, même si pour leur détermination on ne dispose le plus souvent que de méthodes d'approximation.
On exprime cela quelquefois en disant que ℂ est un corps 'algébriquement clos'.
Avant de poursuivre sur ce sujet introduisons encore quelques propriétés et définitions.
On admettra que :
z0 racine de P(z) ⇔ P(z) divisible par (z-z0).
Il suffit pour le voir d'utiliser la division euclidienne des polynômes, identique à la division euclidienne des entiers.
On peut ainsi définir la 'multiplicité' d'une racine:
z0 racine double de P(z)  ⇔ P(z) divisible par (z-z0)2
z0 racine triple de P(z)  ⇔ P(z) divisible par (z-z0)3
z0 racine de multiplicité p de P(z)  ⇔ P(z) divisible par (z-z0)p
Ainsi au moyen des multiplicités, le théorème fondamental peut être énoncé sous cette forme.
Tout polynôme à coefficients complexes de degré n ≥ 1 possède exactement n racines dans ℂ si chaque racine est comptée autant de fois que sa multiplicité.
ou bien encore ainsi:
Tout polynôme à coefficients complexes de degré n ≥ 1 est factorisable en un produit de facteurs du premier degré.
ou bien encore ainsi:
Les seuls polynômes irréductibles (non factorisables) de ℂ[Z] sont les polynômes du premier degré.
La démonstration de ce théorème est loin d'être courte et simple avec seulement des outils algébriques, c'est pourquoi il y a eu beaucoup de démonstrations fausses ou incomplètes dans l'histoire.
La démonstration devient par contre relativement courte et simple dès que l'on utilise des éléments d'analyse mathématique (la notion de limite) et les propriétés générales des fonctions dites 'analytiques' d'une variable complexe.
Nous ne donnerons pas cette démonstration ici, et nous ne pouvons que recommander au lecteur vraiment intéressé de se reporter à un des nombreux sites ou ouvrages qui proposent ce résultat.
Voyons immédiatement une conséquence pour les polynômes de ℝ[X] (polynômes à coefficients réels).
Nous avons vu précédemment que si z0 est une racine complexe d'un tel polynôme p(x) alors z0, le conjugué de z0, est également racine de p(x). Ce qui signifie que p(x) sera divisible par (x-z0) et (x-z0) donc par le produit de ces deux monômes, c'est à dire par x²-2Re(z0)x+|z0|² .
La conséquence finale est que:
Les seuls polynômes irréductibles de  ℝ[X] sont:
Là encore ce résultat ne fournit aucun algorithme explicite de décomposition. Il prédit seulement quelle doit être la forme finale du résultat en donnant l'équivalent dans ℝ[X] des nombres premiers. Les méthodes de localisation et de calcul des racines (ou plutôt des approximations des racines) quand elles existent appartiennent à l'analyse mathématique.

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Jean d'Alembert Carl Friedrich Gauss