Nous allons suivre le fil conducteur qui nous a permis d'enchaîner les constructions successives: La résolution des équations.
Nous avons que la construction de ℝ à partir de ℚ était motivée par l'impossibilité de résoudre des équations du type x²-2=0. Mais il reste des équations de degré deux sans solutions dans ℝ par exemple x²+2=0 et plus généralement x²=a avec a négatif, tout simplement à cause de la règle des signes. Remarquons que si l'équation x²=-1 avait une solution (appelons cette solution i pour 'imaginaire' car un tel nombre ne peut être réel), alors immédiatement toutes les équations du type x²=a avec a < 0 vont avoir des solutions dans tout anneau contenant i et ℝ à savoir i√(-a) et - i√(-a). On peut même démontrer sans peine, dans ces conditions, que toute équation du second degré va avoir deux solutions.
De fait nous verrons que nous serons récompensés pour notre effort au delà de toute espérance pour ce qui concerne les équations algébriques.
Nous avons également été guidés par notre volonté de prolonger les structures algébriques existantes. Il serait donc bon comme dans le cas du prolongement de ℚ par ℝ que l'on aboutisse à un ensemble muni d'une structure de corps avec des opérations prolongeant celles de ℝ.
De ce point de vue les choses se passeront plutôt bien aussi.
Enfin, une autre constante de notre démarche était le prolongement des inégalités. Alors là les choses iront beaucoup moins bien... La possibilité de prolonger les relations d'ordre va exister, certes, mais pas de manière unique. D'autre part nous ne trouverons pas de prolongement de ≤ compatible avec les opérations +, × .
Il faudra donc nous résoudre à accepter qu'il n'existe sur le nouveau venu ℂ, le corps des nombres dits 'complexes' aucun ordre naturel !
Encore au chapitre des bonnes nouvelles :
Nous avons vu que les premières constructions ℤ, ℚ à partir de ℕ étaient relativement simples. On construisait des quotients de produits cartésiens. Par contre la construction de ℝ à partir de ℚ était beaucoup plus compliquée. A quoi faut-il donc s'attendre maintenant ?
Fort heureusement ℂ va se construire fort simplement à partir de ℝ. Un simple produit cartésien suffira.
Au travail!

Galerie des portraits

L'école allemande est à l'honneur ; il y a malheureusement beaucoup d'absents.
Gauss
(1777/1855-DE)
Dirichlet
(1805/1859-DE)
Weierstrass
(1815/1897-DE)
Riemann
(1826/1866-DE)
Hankel
(1839/1873-DE)