Définitions et principaux résultats

Les 'polynômes formels' à coefficients complexes se définissent comme les polynômes à coefficients réels ou dans tout corps commutatif. Un tel polynôme est entièrement déterminé par la liste (finie) de ses coefficients , et s'écrit formellement:
P(Z)=a0+a1Z+a2Z2+....+anZn
n s'appelle le 'degré' de P.
Si z est un élément de ℂ, P(z) désigne le nombre complexe obtenu en substituant la 'valeur' z à "l'indéterminée" Z.
Si P(z)=0, on dit que z est une 'racine' ou bien un 'zéro' de P.
On démontre facilement que:
Le nombre de racines d'un polynôme ne peut excéder son degré.
L'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps commutatif quelconque possède une structure d' anneau avec les opérations d'addition et de multiplication bien connues.
Voici un résultat simple mais important:
Si P(Z) est à coefficients réels et si z est racine de P, alors z est aussi racine de P.
preuve:
k = 0 n a k Z k = ¯ k = 0 n a k Z k ¯ = k = 0 n a k ¯ Z k ¯ = k = 0 n a k Z ¯ k

Café Python

Ce programme fabrique une classe pour modéliser les polynômes à coefficients complexes: