Les
'polynômes formels'
à coefficients complexes se définissent comme les polynômes à
coefficients réels ou dans tout corps commutatif. Un tel polynôme est
entièrement déterminé par la liste (finie) de ses coefficients , et
s'écrit formellement:
P(Z)=a0+a1Z+a2Z2+....+anZn
n s'appelle le
'degré'
de P.
Si z est un élément de ℂ, P(z) désigne le nombre
complexe obtenu en substituant la
'valeur' z à
"l'indéterminée" Z.
Si P(z)=0, on dit que z est une
'racine'
ou bien un
'zéro'
de P.
On démontre facilement que:
Le nombre de racines d'un polynôme ne peut
excéder son degré.
L'ensemble
des polynômes à coefficients dans un corps commutatif quelconque
possède une structure d'
anneau
avec les opérations d'addition et de
multiplication bien connues.
Voici un résultat simple mais important:
Si P(Z) est à coefficients réels et si z est racine de P,
alors
z
est aussi racine de P.
preuve:
Café Python
Ce programme fabrique une classe pour modéliser les polynômes à
coefficients complexes: