Forme canonique

Nous nous attaquons maintenant fort logiquement au degré supérieur, c'est à dire le degré 4.
Les techniques que nous avons utilisées jusqu'à présent vont, cette fois encore, fonctionner.
L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante:
az4+bz3+cz2+dz+e=0 où a,b,c,d,e ∈ ℂ et a ≠ 0.
Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ≠ 0).
Remarquons aussi qu'en remplaçant l'inconnue  z par z-b/4 le terme de degré 3 disparaît.
Bref, on peut supposer sans perte de généralité, que l'équation du quatrième degré a la forme suivante:
z4+pz2+qz+r=0.

L'algorithme

Il n'y a rien là de bien nouveau. Ces techniques ont été utilisées avec succès pour les degrés 2 et 3.
L'idée nouvelle, due à Ferrari, intervient ici:
L'équation ci-dessus est équivalente à:
(z2+u/2)2 =(u-p)z2-qz+u²/4-r pour toute valeur de u .
L'idée est maintenant de trouver une valeur de u telle que le second membre soit un carré parfait de la forme (u-p)(z-k)².
Il suffit pour cela d'annuler le discriminant Δ = (-q)²-4(u-p)(u²/4-r)
Donc de résoudre l'équation en u:
u3-pu2-4ru+(4pr-q²)=0
Ce que l'on peut faire par la méthode de Cardan.
La valeur de u étant trouvée, notre équation s'écrit:
(z2+u/2)2 =(u-p)(z-k)2
Soit t l'une quelconque des deux racines carrées complexes de (u-p)
Notre équation s'écrit:
(z2+u/2)2 =[t(z-k)]2
Elle se décompose donc en deux équations de degré 2:
z²+u/2=t(z-k)   soit  z²-tz+(u/2+tk)=0
z²+u/2=-t(z-k)  soit z²+tz+(u/2-tk)=0
que nous savons résoudre.

Exemple traité

2z4 -2z3 -2z2 +4z-3=0
normalisation:
z4 -z3 -z2 +2z-3/2=0
Changement de variable z=Z+1/4, l'équation devient:
Z4 -(11/8)Z2 +(11/8)Z-275/256=0
Soit encore:
Z4 +uZ2 +u²/4 = (u+11/8)Z2 -(11/8)Z+u²/4+275/256
Le discriminant du second membre est Δ =(11/8)²-4(u+11/8)(u²/4 +275/253)= 121/64 -(u+11/8)(u²+1100/256)
Δ = -u3 -(11/8)u² -(1100/256)u -12100/2048+121/64
Δ = -u3 -(11/8)u² -(275/64)u-2057/512
Donc Δ=0 peut s'écrire
u3 +(11/8)u² +(275/64)u+2057/512=0
La méthode de Cardan donne une solution réelle u0 = -1,02089...
La résolution de l'équation en Z donne les 4 solutions:
Z1 = 0,29753571214225694+0,7458895349676002i
Z2 = 0,29753571214225694-0,7458895349676002i
Z3 = 1,0269627583642902
Z4 = -1,6220341826488043
Puis en tenant compte du changement z=Z+1/4, 4 solutions finales:
z1 = 0,5475357121422569+0,7458895349676002i
z2 = 0,5475357121422569-0,7458895349676002i
z3 = 1,2769627583642902
z4 = -1,3720341826488043