Nous allons maintenant décrire quelques sous-groupes importants du cercle unité complexe.
Un complexe z est appelé une "racine de l'unité" si une des ses puissances entières non nulle est égale à 1.
z racine de l'unité ⇔ ∃ n ∈ ℕ* |  zn=1
Plus précisément:
Si zn=1 on dit que z est une "racine n-ième de l'unité".
On désigne par Gn l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité.
Nous avons alors le premier résultat suivant:
(Gn,×) est un groupe multiplicatif pour toute valeur de n >0.
La preuve est évidente.
Et encore celui ci:
Gn contient exactement n éléments.
Preuve: Gn est constitué des racines de l'équation algébrique Zn-1=0 comportant au plus n racines. Gn contient évidemment 1 et le nombre εn=e2πi/n (voir notation exponentielle ).
mais aussi εn2 , ...., εnn-1 qui sont tous des nombres distincts. En définitive Gn ={ εnk } avec k ∈ [0,n-1]} d'où notre proposition.
Gn est donc un groupe formé des puissances d'un seul élément , isomorphe au groupe additif ℤ/nℤ par l'application k → εnk.
Un tel groupe est qualifié de 'cyclique'.
Une racine n-ième de l'unité est dite 'primitive' si elle engendre Gn en ce sens que Gn est égal à l'ensemble de ses puissances.
Exemple dans le groupe G6, on va trouver seulement deux racines primitives Il est très simple d'établir que:
εnk primitive ⇔  k inversible dans ℤ/nℤ ⇔  k premier avec n.
Représentation géométrique des éléments de Gn sur le cercle unité, en rouge les racines primitives, en vert les autres:

Cliquez pour voir les racines n-ièmes de l'unité
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Remarque :
Si  k est un multiple de n alors Gn ⊆ Gk
En particulier:
Si m et n sont deux entiers positifs quelconques Gn∪Gm ⊆ Gmn
De là il résulte que:
L'ensemble G de toutes les racines de l'unité tous ordres confondus est un sous groupe multiplicatif du cercle unité U, contenant tous les Gn comme sous-groupes.
Par ailleurs si z est un complexe quelconque et si a est UNE racine n-ième de z, toutes les autres se déduiront de a par multiplication par les racines n-ièmes de l'unité. C'est à dire que les racines n-ièmes de z seront {a, aεn, aεn2, ..., aεnn-1}