Nous allons refaire exactement la même chose qui a été faite pour l'ensemble ℝ, le rôle des intervalles étant joué par celui des 'disques'.
Dans ℂ, le 'disque ouvert' de centre z0 et de rayon r (r réel >0) est ainsi défini :
D(z0,r)={ z ∈ ℂ | | z-z0 |<r}.
Graphiquement on peut voir que cet ensemble correspond exactement à un disque.
De la même façon, le 'disque fermé' de centre z0 et de rayon r (r réel >0) est ainsi défini :
D(z0,r)={ z ∈ ℂ | | z-z0 | ≤ r}.
Un ensemble est dit 'ouvert' dans ℂ, si chaque fois qu'il contient un point z0 il contient un disque de centre z0 et de rayon r >0.
U ouvert ⇔ ∀ z0 ∈ U ∃ r >0 | D(z0,r) ⊆ U.
Un ensemble est dit 'fermé' si son complémentaire est ouvert.
F fermé ⇔ ℂ-F ouvert.
Comme dans ℝ, les ouverts possèdent les propriétés suivantes:
Comme dans ℝ, les fermés possèdent les propriétés suivantes:
Quelques autres exemples : On peut également définir l'intérieur, l'adhérence et la frontière de tout ensemble:
"L'intérieur" de X est la réunion de tous les ouverts U inclus dans X, c'est un ouvert inclus dans X et c'est le plus grand ouvert contenu dans X.
"L'adhérence" de X est l'intersection de tous les fermés contenant X, c'est un fermé contenant X et c'est le plus petit d'entre eux.
'La frontière' de X est le complémentaire de l'intérieur de X dans l'adhérence de X.
Exemples: Pour un disque ouvert D(z0 ,r). L'intérieur de D c'est lui-même, l'adhérence de D c'est le disque fermé, la frontière de D c'est le cercle |x-z0|=r.
La notion de 'voisinage' d'un point existe aussi.
V est appelé un 'voisinage' de z si V contient un ouvert contenant z.
Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.
Une intersection finie de voisinages de x est encore un voisinage de x.