Forme canonique

Considérons l'équation générale du troisième degré à coefficients complexes.
aZ3+bZ2+cZ+d=0  (a ≠ 0)
En divisant tout par a on peut supposer que a=1, et que l'équation est:
Z3+bZ2+cZ+d=0  soit
Z3+3(b/3)Z2+cZ+d=0
Soit encore (Z+b/3)3-3(b²/9)Z-b3/27+cZ+d=0
(Z+b/3)3+Z(c-3(b²/9))+d=0
(Z+b/3)3+(Z+b/3-b/3)(c-3(b²/9))+d=0
En posant Z' = Z+b/3 et en développant on arrive à :
Z'3+pZ'+q = 0 où on pourra calculer les coefficient p et q en fonction de b,c et d.
En définitive, après quelques transformations simples, toute équation complexe du troisième degré peut se ramener à la forme 'canonique':
Z3+pZ+q=0 où les coefficients p et q sont des nombres complexes. On peut supposer en outre que p ≠ 0 car sinon la résolution est évidente.

L'algorithme

La 'méthode de Cardan' repose sur l'astuce suivante:
On pose Z=u+v transformant ainsi l'unique inconnue de l'équation en deux inconnues mais avec un degré de liberté (si (u,v) est une solution (u+k,v-k) en est une autre) .
Réécrivons l'équation:
(u+v)3+p(u+v)+q=0
u3+v3+3u2v+3uv2+p(u+v)+q=0
u3+v3+(u+v)(3uv+p)+q=0
Supposons maintenant que u et v soient choisis de telle sorte que 3uv+p=0
l'équation se transforme en le système:
u3+v3=-q
uv=-p/3
Soit en posant U=u3 et V= v3
U+V=-q
UV=-p3/27
Tout revient à trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit, mais cela revient à résoudre une équation du second degré:
W2+qW-p3/27=0
Nous avons donc ramené le problème de la résolution d'une équation du troisième degré à celui de la résolution d'une équation de degré strictement inférieur.
Ayant U= u3 il est facile d'extraire de U les trois racines cubiques complexes :
[ρ, θ]3 =[r,t]   ⇔ ρ = r1/3 et  θ = t/3+ 2kπ/3  , k ∈ ℤ et pour chaque valeur de u trouvée calculer la valeur de v correspondante -p/3u.
Voir les exercices corrigés  pour des résolutions pratiques.
Le cas particulier où les coefficients p,q sont en fait tous deux réels sera également traité en exercice.

Galerie des portraits

Le troisième degré : un vrai 'polar' de la renaissance italienne avec pour acteurs principaux Niccolo Tartaglia, Jerôme Cardan, Scipione del Ferro
Cardan
(1501/1576-IT)
Tartaglia
(1499/1557-IT)

Café Python

Voici un programme qui résout les équations du troisième degré à coefficients complexes, en utilisant la méthode de Cardan: