Si on imagine ℕ comme l'ensemble dont les éléments sont les cardinaux finis, l'addition correspond intuitivement à la réunion d'ensembles, pourvu qu'ils s'agissent d'ensembles disjoints.
E et F étant deux ensembles il existe un moyen artificiel de les disjoindre. Soit K la paire {0,1}
On désigne par E' le sous ensemble de E×F ( produit cartésien de E et F ) formé des couples de la formes (x,0) avec x ∈ E.
On désigne par F' le sous-ensemble de E×F formé des couples de la forme (y,1) avec y ∈ F.
Alors il est clair qu'aucun élément de E' ne peut être dans F' , l'égalité (x,0)=(y,1) étant impossible car deux couples sont égaux si et seulement si leur deux coordonnées sont égales.
Il est clair aussi que E et E' sont équipotents par la bijection x → (x,0) et que, de la même façon, F et F' sont équipotents par la bijection y →(y,1).
L'ensemble E' ∪ F' s'appelle la 'réunion disjointe' de E et F.
Cela étant posé la somme de deux cardinaux finis m et n peut ainsi être définie:
Si m= card(E) et n=card(F)  m+n sera le cardinal de la réunion disjointe de E et F.
Pour vérifier la cohérence de cette définition il faut s'assurer que si E1 et E2 sont équipotents et F1 et F2 sont équipotents alors la réunion disjointe de E1 et E2 est équipotente à la réunion disjointe de F1 et F2, ce qui est immédiat.
De la sorte on voit que cette opération est compatible avec la relation d'équipotence et fournit bien une opération sur les cardinaux.
Si on veut maintenant une définition récurrente de l'addition fondée sur l'axiomatique de Peano on peut poser: Bref, quelque soit la méthode choisie on constate les propriétés suivantes:
L'addition est associative et commutative sur ℕ, 0 est élément neutre pour +.
L'addition est compatible avec la relation d'ordre ≤, en ce sens que:
(m1 ≤ m2 ) ∧ (n1 ≤ n2 ) ⇒ (m1 +n1 ) ≤ (m2 +n2 )
En particulier si n1 =n2 =n:
(m1 ≤ m2 ) ⇒ (m1 +n) ≤ (m2 +n)