La définition axiomatique des entiers naturels, due à Giuseppe Peano, est usuellement décrite par les cinq axiomes suivants :

il existe un ensemble noté ℕ et une application  s: ℕ → ℕ appelée successeur telle que :

  1. 0 est un entier naturel (donc l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide).
  2. Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n) ou Sn.
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément).
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à ℕ (c'est le principe de récurrence ).
Le successeur s(0) de 0 est noté 1, celui de 1 est noté 2, et ainsi de suite.
Il existe plusieurs méthodes constructivistes pour montrer l'existence effective de l'ensemble ℕ.

L'une est due à John Von Neumann:
En voici une autre basée sur la remarque que {x} ne peut jamais être égal à x :
Il existe bien sûr diverses manières de construire des ensembles satisfaisant aux axiomes de Peano, mais trouve-t-on à chaque fois, le même ensemble?
Formellement non, mais les ensembles ainsi construits se déduisent les uns des autres par des isomorphismes.
C'est à dire que si N1 et N2 sont deux ensembles satisfaisant aux axiomes de Peano.
Il existe une application f: N1 → N2 telle que:
Ce qui importe c'est que les définitions faites sur ℕ (relations, opérations, etc.) puissent être faites récursivement à partir des axiomes de Peano. Les raisonnements conduiront alors à des énoncés valides quel que soit le modèle proposé.