Définition

Un ensemble E est dit 'dénombrable' s'il est équipotent à l'ensemble ℕ, c'est à dire si ses éléments peuvent être organisés en une suite infinie:
x0, x1, x2,....,xn,... sans omission ni répétition, une telle suite constituant donc une bijection de E sur ℕ.
Considérons par exemple l'ensemble des nombres pairs.
P={0,2,4,6,.....}
L'application :
k → 2k de ℕ dans P est évidemment une bijection, donc P est dénombrable.
C'est la première fois que nous voyons un ensemble en bijection avec une de ses parties propres (distinctes de lui-même).
On pourrait donc dire la même chose de l'ensemble I des nombres impairs avec l'application:
k → 2k+1
Ce qui signifie dans le langage des cardinaux .
De sorte que si on note ν le cardinal de ℕ, on peut écrire quelque chose comme:
ν = ν + ν
Pour traduire le fait que ℕ = P ∪ I
C'est évidemment une arithmétique à laquelle on n'est guère habitué ...
Tout cela vient du fait que ℕ est un ensemble infini . Une telle situation ne peut se produire avec un ensemble fini au sens que nous avons donné de tel ensembles.
A tel point que certains mathématiciens adoptent une autre définition pour la notion d'ensemble fini , que celle donnée précédemment.
Un ensemble E est dit 'fini' si toute injection de E dans E est bijective.
Il n'est pas aisé de montrer l'équivalence logique des deux définitions (cela fait même intervenir un axiome particulier appelé l'axiome de choix et qui a fait coulé beaucoup d'encre). Pour le moment, nous ne développerons pas ce point.