Dans les chapitres précédents, nous avons déjà fait un large usage des symboles ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, pour désigner les ensembles de nombres couramment utilisés dans l'enseignement secondaire.
Ces ensembles ont été introduits sans aucun formalisme particulier, en donnant une définition intuitive de leurs éléments, du plus simple (les entiers naturels) au plus complexe (les nombres dits 'complexes').
Nous allons maintenant revenir sur chacun de ces ensembles et montrer comment ils peuvent être effectivement 'construits' en tant qu'objets mathématiques.
Même des mathématiciens de renom, comme Kronecker, pensent que les entiers naturels sont un don divin, nous le citons ci-après:
Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est fabriqué par l'homme.
Comme nous le verrons ci-après, Dieu n'est pas dans ce cas une hypothèse nécessaire.
Nous commencerons bien entendu ce travail avec l'ensemble des entiers naturels.
Il revient à Peano d'avoir posé clairement l'ensemble des axiomes auquel doit satisfaire cet ensemble pour qu'il se comporte 'conformément aux usages'.
Par suite, plusieurs mathématiciens ont proposé des 'constructions' d'ensemble répondant exactement aux axiomes de Peano, parmi eux John Von Neumann.

Galerie des portraits

Leopold Kronecker (1823/1891-DE) Guiseppe Peano (1858/1932-IT) John Von Neumann (1903/1957-H-US)