Définition

Considérons encore  ℕ comme l'ensemble des cardinaux finis.
Alors si m = card(E) et n=card(F) on pose:
m × n = card(E×F).
définissant ainsi une nouvelle opération (produit) sur ℕ.
Il faut bien sûr s'assurer auparavant que si E est équipotent à E' et si F est équipotent à F' alors E × F est équipotent à E' × F', mais cela est immédiat.
On peut aussi définir la multiplication à partir de l'addition, et des axiomes de Peano en posant:
On vérifie instantanément que × est une opération commutative.
En effet que l'on compte les éléments
en lignes: ou en colonnes:

Le résultat est le même: 3 × 2= 2 × 3.
Cette opération est associative, elle a pour élément neutre 1=s(0)
En outre elle est distributive par rapport à l'addition, comme le montre la figure suivante:

qui établit clairement que:  6 × 3 = (4 × 3) + (2 × 3)

Remarque

Nous utiliserons sur ℕ les usages de la notation additive pour la loi + et de la notation multiplicative pour la loi ×.
Ce qui signifie que si (m,n) ∈ ℕ×ℕ.
mn peut être compris comme m × n en notation multiplicative ou bien comme le m-ième multiple de n en notation additive.
Nous laissons le lecteur vérifier qu'aucune confusion n'est possible parce que les définitions des opérations étant ce qu'elles sont les résultats sont les mêmes.
Il va de soi aussi que cette remarque entraîne la définition automatique des puissances positives ou nulles des entiers naturels.