Définitions

Nous définissons une relation binaire notée ≤ sur ℕ de la manière suivante:
On vérifie immédiatement que cette relation est réflexive et transitive . C'est un peu plus difficile de voir qu'elle est antisymétrique , mais cela se déduit des axiomes des axiomes de Peano avec un peu de technique.
De fait tout est basé sur le fait que par l'axiome 5, ℕ est exactement constitué des itérés de 0 par s.
Ensuite on voit que s(0) ne peut être égal à 0 puisque 0 n'est le successeur de rien (donc pas même de lui-même).
s(s(0) ) ne peut être égal à s(0) car alors s(0) serait égal à 0 par l'axiome 4
s(s(0) ne peut non plus être égal à 0 car 0 n'est le successeur de rien, et ainsi de suite.
Donc ℕ est constitué des successeurs de 0 (images de 0 par des itérés de s) de tous ordre, de ceux là seulement et ils sont tous distincts.
C'est donc une relation d'ordre .
Voici quelques résultats élémentaires déductibles de la définition de ≤ et des axiomes de Peano.
≤ est une relation d'ordre total sur ℕ.
Toute partie de ℕ possède un plus petit élément .
Pour P partie de ℕ, il y a équivalence entre:
Toute partie finie de ℕ possède un plus grand élément .
De ≤ on déduit immédiatement la relation ≥ qui est sa réciproque .
On définit en outre
m < n par  (m ≤ n) ∧ (m ≠ n)
et
m > n par (m ≥ n) ∧ (m ≠ n)